Номер 1100, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1100. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, образует угол $30^\circ$ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$, а высота призмы равна $h$. Боковые грани призмы являются прямоугольниками.

Рассмотрим диагональ $BC_1$ боковой грани $BCC_1B_1$. По условию, ее длина равна 6. Эта диагональ образует угол $30^\circ$ с плоскостью другой боковой грани, например, $ABB_1A_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Найдем проекцию диагонали $BC_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$.

Для этого опустим перпендикуляр из точки $C_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$. Так как призма правильная (а значит, прямая), ее основания перпендикулярны боковым граням. Плоскость основания $(A_1B_1C_1)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$, и они пересекаются по прямой $A_1B_1$.

Проведем в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ высоту $C_1H_1$ к стороне $A_1B_1$. Поскольку $C_1H_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $C_1H_1 \perp A_1B_1$, то $C_1H_1$ перпендикулярна всей плоскости $(ABB_1A_1)$.

Следовательно, отрезок $BH_1$ является проекцией наклонной $BC_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$. Угол между диагональю $BC_1$ и плоскостью $(ABB_1A_1)$ — это угол $\angle C_1BH_1$. По условию, $\angle C_1BH_1 = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1H_1B$ (угол $\angle C_1H_1B = 90^\circ$, так как $C_1H_1$ — перпендикуляр к плоскости, в которой лежит $BH_1$).

В этом треугольнике гипотенуза $BC_1 = 6$. Найдем катеты:

$C_1H_1 = BC_1 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

$BH_1 = BC_1 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Катет $C_1H_1$ является высотой равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной $a$. Формула высоты равностороннего треугольника: $C_1H_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем найденное значение и формулу, чтобы найти сторону основания $a$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 3 \implies a\sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем высоту призмы $h = BB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BB_1H_1$ (угол $\angle BB_1H_1 = 90^\circ$, так как боковое ребро перпендикулярно основанию). Катет $B_1H_1$ — это половина стороны основания, так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой.$B_1H_1 = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для $\triangle BB_1H_1$:

$BH_1^2 = BB_1^2 + B_1H_1^2$

$(3\sqrt{3})^2 = h^2 + (\sqrt{3})^2$

$27 = h^2 + 3$

$h^2 = 24 \implies h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Теперь мы можем найти объем призмы. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

Вычисляем объем:

$V = S_{осн} \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6\sqrt{9 \cdot 2} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$.