Номер 1096, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1096. Концы отрезков $AB$ и $CD$ лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Угол между плоскостью $\alpha$ и отрезком $AB$ вдвое меньше угла между отрезком $CD$ и этой плоскостью (рис. 336). Учитывая, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на плоскость $\alpha$ равны $a$ и $c$ соответственно, найдите расстояние между плоскостями.

Рис. 336

Пусть $h$ - искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Пусть $\phi_{AB}$ - угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$, а $\phi_{CD}$ - угол между отрезком $CD$ и плоскостью $\alpha$. По условию задачи, угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ вдвое меньше угла между отрезком $CD$ и той же плоскостью, то есть $\phi_{AB} = \frac{1}{2}\phi_{CD}$ или $\phi_{CD} = 2\phi_{AB}$.

Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ - в плоскости $\beta$. Опустим перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $\alpha$, пусть $B'$ - основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $AB'$ является ортогональной проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этой проекции равна $a$, то есть $|AB'| = a$. Длина перпендикуляра $BB'$ равна расстоянию между плоскостями, то есть $|BB'| = h$. Треугольник $\triangle ABB'$ - прямоугольный ($\angle AB'B = 90^\circ$). Угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ - это угол между отрезком и его проекцией, то есть $\phi_{AB} = \angle BAB'$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $$ \tan(\phi_{AB}) = \frac{|BB'|}{|AB'|} = \frac{h}{a} $$

Аналогично рассмотрим отрезок $CD$. Точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ - в плоскости $\beta$. Опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $\alpha$, пусть $D'$ - основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $CD'$ является ортогональной проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$. По условию, $|CD'| = c$. Длина перпендикуляра $DD'$ также равна расстоянию между плоскостями, $|DD'| = h$. Треугольник $\triangle CDD'$ - прямоугольный ($\angle CD'D = 90^\circ$). Угол между отрезком $CD$ и плоскостью $\alpha$ равен $\phi_{CD} = \angle DCD'$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $$ \tan(\phi_{CD}) = \frac{|DD'|}{|CD'|} = \frac{h}{c} $$

Теперь воспользуемся связью между углами $\phi_{CD} = 2\phi_{AB}$ и применим формулу тангенса двойного угла: $$ \tan(\phi_{CD}) = \tan(2\phi_{AB}) = \frac{2\tan(\phi_{AB})}{1 - \tan^2(\phi_{AB})} $$ Подставим в это равенство полученные ранее выражения для тангенсов: $$ \frac{h}{c} = \frac{2 \cdot \frac{h}{a}}{1 - \left(\frac{h}{a}\right)^2} $$

Решим полученное уравнение относительно $h$. Поскольку $h$ - это расстояние, то $h > 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $h$: $$ \frac{1}{c} = \frac{2/a}{1 - h^2/a^2} $$ Преобразуем правую часть: $$ \frac{1}{c} = \frac{2/a}{(a^2 - h^2)/a^2} = \frac{2}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 - h^2} = \frac{2a}{a^2 - h^2} $$ Отсюда следует: $$ a^2 - h^2 = 2ac $$ Выразим $h^2$: $$ h^2 = a^2 - 2ac $$ Тогда искомое расстояние $h$ равно: $$ h = \sqrt{a^2 - 2ac} $$ Отметим, что для существования действительного решения необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным: $a^2 - 2ac > 0$, что, учитывая $a>0$, равносильно условию $a > 2c$.

Ответ: $ \sqrt{a^2 - 2ac} $.