Номер 1097, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1097. Длины сторон треугольника равны $a, a \text{ и } b$, его проекцией на плоскость является равносторонний треугольник. Найдите длину его стороны.

Пусть исходный треугольник — это $ABC$, в котором $AB = AC = a$ и $BC = b$. Пусть его ортогональная проекция на плоскость $\Pi$ — это равносторонний треугольник $A'B'C'$ со стороной $x$.

Длина проекции отрезка на плоскость связана с длиной самого отрезка и разностью высот его концов над плоскостью. Если отрезок имеет длину $L$, а его концы находятся на высотах $h_1$ и $h_2$ над плоскостью, то длина его проекции $L'$ вычисляется по формуле $L'^2 = L^2 - (h_1 - h_2)^2$.

Пусть вершины $A, B, C$ находятся на высотах $h_A, h_B, h_C$ над плоскостью $\Pi$. Тогда для сторон треугольника $A'B'C'$ можно записать следующие соотношения:

$|A'B'|^2 = x^2 = |AB|^2 - (h_A - h_B)^2 = a^2 - (h_A - h_B)^2$ (1)

$|A'C'|^2 = x^2 = |AC|^2 - (h_A - h_C)^2 = a^2 - (h_A - h_C)^2$ (2)

$|B'C'|^2 = x^2 = |BC|^2 - (h_B - h_C)^2 = b^2 - (h_B - h_C)^2$ (3)

Из уравнений (1) и (2) следует, что:

$a^2 - (h_A - h_B)^2 = a^2 - (h_A - h_C)^2$

$(h_A - h_B)^2 = (h_A - h_C)^2$

Это равенство возможно в двух случаях:

Случай 1: $h_A - h_B = h_A - h_C$

Из этого следует, что $h_B = h_C$. Это означает, что сторона $BC$ параллельна плоскости проекции $\Pi$.

Подставим $h_B = h_C$ в уравнение (3):

$x^2 = b^2 - (h_B - h_B)^2 = b^2 - 0 = b^2$

Отсюда $x=b$.

Теперь проверим, при каких условиях этот случай возможен. Подставим $x=b$ в уравнение (1):

$b^2 = a^2 - (h_A - h_B)^2$

$(h_A - h_B)^2 = a^2 - b^2$

Чтобы существовало вещественное решение для высот, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $a^2 - b^2 \ge 0$, то есть $a \ge b$.

Таким образом, если $a \ge b$, то сторона проекции может быть равна $b$.

Случай 2: $h_A - h_B = -(h_A - h_C) = h_C - h_A$

Это равенство означает, что высота вершины $A$ является средним арифметическим высот вершин $B$ и $C$: $2h_A = h_B + h_C$. Геометрически это означает, что медиана (и высота) $AM$ исходного треугольника лежит в плоскости, проходящей через вершину $A$ и параллельной плоскости проекции $\Pi$.

Выразим разность $h_B - h_C$:

$h_B - h_C = (h_B - h_A) + (h_A - h_C) = (h_B - h_A) + (h_A - h_B) = 2(h_B - h_A)$

Подставим это в уравнение (3):

$x^2 = b^2 - (2(h_B - h_A))^2 = b^2 - 4(h_B - h_A)^2$

Из уравнения (1) выразим $(h_A - h_B)^2$: $(h_A - h_B)^2 = a^2 - x^2$. Так как $(h_A - h_B)^2 = (h_B - h_A)^2$, мы можем подставить это выражение в полученное выше уравнение:

$x^2 = b^2 - 4(a^2 - x^2)$

$x^2 = b^2 - 4a^2 + 4x^2$

$3x^2 = 4a^2 - b^2$

$x^2 = \frac{4a^2 - b^2}{3}$

Отсюда $x = \sqrt{\frac{4a^2 - b^2}{3}}$.

Теперь проверим, при каких условиях этот случай возможен. Необходимо, чтобы $(h_A - h_B)^2 = a^2 - x^2 \ge 0$.

$a^2 - \frac{4a^2 - b^2}{3} \ge 0$

$\frac{3a^2 - 4a^2 + b^2}{3} \ge 0$

$\frac{b^2 - a^2}{3} \ge 0 \implies b^2 \ge a^2$, то есть $b \ge a$.

Таким образом, если $b \ge a$, то сторона проекции может быть равна $\sqrt{\frac{4a^2 - b^2}{3}}$.

Объединяя результаты, получаем, что для любого невырожденного равнобедренного треугольника ($2a > b$) существует единственное значение для длины стороны его равносторонней проекции:

• Если $a \ge b$, то возможен только первый случай, и длина стороны проекции равна $b$.
• Если $a < b$, то возможен только второй случай, и длина стороны проекции равна $\sqrt{\frac{4a^2 - b^2}{3}}$.

В случае, когда $a=b$, исходный треугольник является равносторонним, и обе формулы дают один и тот же результат: $x=a$.

Ответ: Если $a \ge b$, то длина стороны равна $b$. Если $a < b$, то длина стороны равна $\sqrt{\frac{4a^2 - b^2}{3}}$.