Номер 1099, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1099. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра основания вдвое меньше боковых ребер. Изобразите в тетради этот параллелепипед и общий перпендикуляр прямых $BA_1$ и $CB_1$. Найдите длину этого перпендикуляра, учитывая, что ребро основания равно $a$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ параллелепипеда совпадает с началом координат, ребро $AD$ лежит на оси $Ox$, ребро $AB$ — на оси $Oy$, а ребро $AA_1$ — на оси $Oz$.

Согласно условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Это означает, что его основание $ABCD$ является прямоугольником, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Условие "ребра основания вдвое меньше боковых ребер" и "ребро основания равно $a$" в совокупности означают, что основание является квадратом со стороной $a$, а боковое ребро (высота) равно $2a$.

Таким образом, имеем размеры: $AB = AD = a$ и $AA_1 = 2a$.

Координаты вершин, необходимых для решения:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, a, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, 2a)$
• $B_1(0, a, 2a)$

Изобразите в тетради этот параллелепипед и общий перпендикуляр прямых $BA_1$ и $CB_1$.

1. Сначала изобразим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с учетом пропорций: высота ($AA_1$) в два раза больше стороны основания ($AB$). Основание $ABCD$ изображается в виде параллелограмма. Невидимые ребра ($AD$, $DC$, $DD_1$) рисуем пунктирными линиями.

2. Далее строим прямые $BA_1$ и $CB_1$. Прямая $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Прямая $CB_1$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $B_1$ верхнего основания. Эти прямые являются скрещивающимися.

3. Общий перпендикуляр — это отрезок $PQ$, где точка $P$ лежит на прямой $BA_1$, а точка $Q$ — на прямой $CB_1$, и при этом отрезок $PQ$ перпендикулярен обеим этим прямым. Чтобы правильно изобразить его положение, найдем точные координаты точек $P$ и $Q$ (это будет сделано в следующей части решения). Расчеты показывают, что точка $P$ делит отрезок $BA_1$ в отношении $BP:PA_1 = 4:5$, а точка $Q$ делит отрезок $CB_1$ в отношении $CQ:QB_1 = 5:4$.

4. Отмечаем точки $P$ и $Q$ на отрезках $BA_1$ и $CB_1$ в соответствии с найденными отношениями и соединяем их отрезком $PQ$. Этот отрезок и есть искомый общий перпендикуляр.

Ответ: Изображение в тетради выполняется согласно приведенному описанию.

Найдите длину этого перпендикуляра, учитывая, что ребро основания равно $a$.

Для нахождения длины общего перпендикуляра используем векторный метод.

1. Найдем направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $CB_1$.
Для прямой $BA_1$, проходящей через точки $B(0, a, 0)$ и $A_1(0, 0, 2a)$, направляющий вектор $\vec{v}_1$: $\vec{v}_1 = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-0, 0-a, 2a-0) = (0, -a, 2a)$.
Для прямой $CB_1$, проходящей через точки $C(a, a, 0)$ и $B_1(0, a, 2a)$, направляющий вектор $\vec{v}_2$: $\vec{v}_2 = \vec{CB_1} = B_1 - C = (0-a, a-a, 2a-0) = (-a, 0, 2a)$.

2. Запишем параметрические уравнения прямых.
Пусть $P$ — произвольная точка на прямой $BA_1$, а $Q$ — произвольная точка на прямой $CB_1$. Координаты точки $P$ можно выразить как: $\vec{OP} = \vec{OB} + t \cdot \vec{v}_1 = (0, a, 0) + t(0, -a, 2a) = (0, a - at, 2at)$.
Координаты точки $Q$ можно выразить как: $\vec{OQ} = \vec{OC} + s \cdot \vec{v}_2 = (a, a, 0) + s(-a, 0, 2a) = (a - as, a, 2as)$.
Здесь $t$ и $s$ — параметры.

3. Найдем вектор $\vec{PQ}$, соединяющий точки $P$ и $Q$: $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (a - as - 0, a - (a - at), 2as - 2at) = (a(1-s), at, 2a(s-t))$.

4. Вектор $\vec{PQ}$ является общим перпендикуляром, если он ортогонален обоим направляющим векторам $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Условие ортогональности — равенство нулю скалярного произведения векторов. $\vec{PQ} \cdot \vec{v}_1 = 0$ и $\vec{PQ} \cdot \vec{v}_2 = 0$.

Составим систему уравнений:
1) $(a(1-s), at, 2a(s-t)) \cdot (0, -a, 2a) = 0$
$a(1-s) \cdot 0 + at \cdot (-a) + 2a(s-t) \cdot (2a) = 0$
$-a^2t + 4a^2(s-t) = 0$
Разделим на $a^2 \neq 0$: $-t + 4s - 4t = 0 \implies 4s = 5t$.

2) $(a(1-s), at, 2a(s-t)) \cdot (-a, 0, 2a) = 0$
$a(1-s) \cdot (-a) + at \cdot 0 + 2a(s-t) \cdot (2a) = 0$
$-a^2(1-s) + 4a^2(s-t) = 0$
Разделим на $a^2 \neq 0$: $-(1-s) + 4s - 4t = 0 \implies -1 + s + 4s - 4t = 0 \implies 5s - 4t = 1$.

5. Решим полученную систему уравнений: $\begin{cases} 4s = 5t \\ 5s - 4t = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $s = \frac{5}{4}t$ и подставим во второе: $5(\frac{5}{4}t) - 4t = 1$
$\frac{25}{4}t - \frac{16}{4}t = 1$
$\frac{9}{4}t = 1 \implies t = \frac{4}{9}$.
Тогда $s = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

6. Теперь найдем вектор $\vec{PQ}$, подставив значения $s$ и $t$: $\vec{PQ} = (a(1-\frac{5}{9}), a\frac{4}{9}, 2a(\frac{5}{9}-\frac{4}{9})) = (a\frac{4}{9}, a\frac{4}{9}, 2a\frac{1}{9}) = (\frac{4a}{9}, \frac{4a}{9}, \frac{2a}{9})$.

7. Длина общего перпендикуляра — это модуль (длина) вектора $\vec{PQ}$: $d = |\vec{PQ}| = \sqrt{(\frac{4a}{9})^2 + (\frac{4a}{9})^2 + (\frac{2a}{9})^2}$
$d = \sqrt{\frac{16a^2}{81} + \frac{16a^2}{81} + \frac{4a^2}{81}} = \sqrt{\frac{16a^2 + 16a^2 + 4a^2}{81}} = \sqrt{\frac{36a^2}{81}}$
$d = \sqrt{\frac{4a^2}{9}} = \frac{2a}{3}$.

Ответ: $\frac{2a}{3}$.