Номер 1106, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1106. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На диагоналях $D_1A$ и $A_1B$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причем $D_1M : D_1A = NB : A_1B = 1 : 3$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $MN$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$ (ось x), $AD$ (ось y) и $AA_1$ (ось z). Ребро куба равно $a$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$.

Точка $M$ лежит на диагонали $D_1A$, причем $D_1M : D_1A = 1 : 3$. Это означает, что вектор $\vec{D_1M} = \frac{1}{3}\vec{D_1A}$. Координаты радиус-вектора точки $M$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении: $\vec{r_M} = \vec{r_{D_1}} + \frac{1}{3}(\vec{r_A} - \vec{r_{D_1}}) = \frac{2}{3}\vec{r_{D_1}} + \frac{1}{3}\vec{r_A}$.

Подставляя координаты точек $D_1(0, a, a)$ и $A(0, 0, 0)$, получаем:

$M = (\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0; \frac{2}{3} \cdot a + \frac{1}{3} \cdot 0; \frac{2}{3} \cdot a + \frac{1}{3} \cdot 0) = (0, \frac{2a}{3}, \frac{2a}{3})$.

Точка $N$ лежит на диагонали $A_1B$, причем $NB : A_1B = 1 : 3$. Это означает, что $A_1N : NB = 2 : 1$, следовательно, $\vec{A_1N} = \frac{2}{3}\vec{A_1B}$. Координаты радиус-вектора точки $N$: $\vec{r_N} = \vec{r_{A_1}} + \frac{2}{3}(\vec{r_B} - \vec{r_{A_1}}) = \frac{1}{3}\vec{r_{A_1}} + \frac{2}{3}\vec{r_B}$.

Подставляя координаты точек $A_1(0, 0, a)$ и $B(a, 0, 0)$, получаем:

$N = (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot a; \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0; \frac{1}{3} \cdot a + \frac{2}{3} \cdot 0) = (\frac{2a}{3}, 0, \frac{a}{3})$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $C(a, a, 0)$ до прямой $MN$. Расстояние от точки до прямой, проходящей через две другие точки, вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{MC} \times \vec{MN}|}{|\vec{MN}|}$.

Найдем координаты векторов $\vec{MC}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{MC} = (a - 0; a - \frac{2a}{3}; 0 - \frac{2a}{3}) = (a, \frac{a}{3}, -\frac{2a}{3})$

$\vec{MN} = (\frac{2a}{3} - 0; 0 - \frac{2a}{3}; \frac{a}{3} - \frac{2a}{3}) = (\frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3})$

Вычислим их векторное произведение $\vec{MC} \times \vec{MN}$:

$\vec{MC} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & \frac{a}{3} & -\frac{2a}{3} \\ \frac{2a}{3} & -\frac{2a}{3} & -\frac{a}{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{a}{3} \cdot (-\frac{a}{3}) - (-\frac{2a}{3}) \cdot (-\frac{2a}{3})) - \mathbf{j}(a \cdot (-\frac{a}{3}) - (-\frac{2a}{3}) \cdot \frac{2a}{3}) + \mathbf{k}(a \cdot (-\frac{2a}{3}) - \frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3}) = \mathbf{i}(-\frac{a^2}{9} - \frac{4a^2}{9}) - \mathbf{j}(-\frac{3a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}) + \mathbf{k}(-\frac{6a^2}{9} - \frac{2a^2}{9}) = -\frac{5a^2}{9}\mathbf{i} - \frac{a^2}{9}\mathbf{j} - \frac{8a^2}{9}\mathbf{k}$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{MC} \times \vec{MN}| = \sqrt{(-\frac{5a^2}{9})^2 + (-\frac{a^2}{9})^2 + (-\frac{8a^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{25a^4}{81} + \frac{a^4}{81} + \frac{64a^4}{81}} = \sqrt{\frac{90a^4}{81}} = \frac{a^2\sqrt{90}}{9} = \frac{a^2 \cdot 3\sqrt{10}}{9} = \frac{a^2\sqrt{10}}{3}$.

Теперь найдем модуль вектора $\vec{MN}$ (длину отрезка $MN$):

$|\vec{MN}| = \sqrt{(\frac{2a}{3})^2 + (-\frac{2a}{3})^2 + (-\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2}{9}} = \sqrt{a^2} = a$.

Искомое расстояние $d$ равно:

$d = \frac{|\vec{MC} \times \vec{MN}|}{|\vec{MN}|} = \frac{\frac{a^2\sqrt{10}}{3}}{a} = \frac{a\sqrt{10}}{3}$.

Ответ: $ \frac{a\sqrt{10}}{3} $.