Номер 1102, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1102. Найдите объем прямого параллелепипеда, учитывая, что его диагональ имеет длину 13 см, наклонена к плоскости основания под углом $\text{arctg } 2,4$ и образует с большим ребром основания угол $\text{arctg } 0,75\sqrt{17}$.

Обозначим измерения прямого параллелепипеда: $a$ и $b$ — стороны основания, $c$ — высота (боковое ребро). Поскольку параллелепипед прямой, его объем вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot c$. Для прямоугольного параллелепипеда (в основании которого лежит прямоугольник) $V = a \cdot b \cdot c$. Будем исходить из предположения, что основание является прямоугольником, так как это наиболее частый случай для задач такого типа. Пусть $a$ — большее ребро основания.

Пусть $D$ — диагональ параллелепипеда. По условию, $D = 13$ см. Для прямоугольного параллелепипеда квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$$13^2 = a^2 + b^2 + c^2 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 169$.

Угол наклона диагонали к плоскости основания — это угол $\alpha$ между диагональю $D$ и ее проекцией на основание. Проекцией диагонали $D$ на основание является диагональ основания $d = \sqrt{a^2+b^2}$. Диагональ $D$, ее проекция $d$ и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $D$ — гипотенуза, а $c$ и $d$ — катеты.

По условию, угол наклона равен $\alpha = \arctan(2,4)$. Тангенс этого угла в данном прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета ($c$) к прилежащему ($d$):$\tan(\alpha) = \frac{c}{d} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$. Отсюда можно выразить $c$ и $d$ через некоторую переменную $k$: пусть $c=12k$ и $d = \sqrt{a^2+b^2} = 5k$. Подставим эти значения в формулу для диагонали:$D^2 = d^2 + c^2 = (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$. Так как $D=13$, получаем:$13^2 = 169k^2 \implies 169 = 169k^2 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$ (так как размеры должны быть положительными).Следовательно, высота параллелепипеда $c = 12 \cdot 1 = 12$ см, а квадрат диагонали основания $d^2 = a^2+b^2 = (5 \cdot 1)^2 = 25$ см$^2$.

Теперь используем второе условие. Угол $\beta$ между диагональю $D$ и большим ребром основания $a$ равен $\beta = \arctan(0,75\sqrt{17})$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $D$ (гипотенуза), ребром $a$ (катет) и диагональю боковой грани со сторонами $b$ и $c$ (второй катет, длина которого $\sqrt{b^2+c^2}$). Косинус угла $\beta$ в этом треугольнике равен отношению прилежащего катета $a$ к гипотенузе $D$:$\cos(\beta) = \frac{a}{D} = \frac{a}{13}$.

Найдем значение $\cos(\beta)$, зная $\tan(\beta) = 0,75\sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{4}$. Используем тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(\beta) = \frac{1}{\cos^2(\beta)}$:$1 + \left(\frac{3\sqrt{17}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9 \cdot 17}{16} = 1 + \frac{153}{16} = \frac{16+153}{16} = \frac{169}{16}$. Значит, $\frac{1}{\cos^2(\beta)} = \frac{169}{16}$, откуда $\cos^2(\beta) = \frac{16}{169}$. Поскольку угол $\beta$ в геометрической фигуре острый, его косинус положителен: $\cos(\beta) = \sqrt{\frac{16}{169}} = \frac{4}{13}$.

Приравниваем два полученных выражения для $\cos(\beta)$:$\frac{a}{13} = \frac{4}{13} \implies a = 4$ см.

Теперь найдем второе ребро основания $b$ из ранее найденного соотношения $a^2+b^2=25$:$4^2 + b^2 = 25 \implies 16 + b^2 = 25 \implies b^2 = 9 \implies b = 3$ см. Проверяем условие, что $a$ — большее ребро основания: $a=4$ см, $b=3$ см. Условие $a>b$ выполняется.

Наконец, вычисляем объем параллелепипеда:$V = a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144$ см$^3$.

Ответ: $144 \text{ см}^3$.