Номер 1104, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1104. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, их общее ребро длиной $45 \text{ см}$ отстоит от других боковых ребер на $11 \text{ см}$ и $60 \text{ см}$. Найдите боковую поверхность и объем призмы.

Пусть дана наклонная треугольная призма. Длина ее бокового ребра $l = 45$ см. Две боковые грани призмы взаимно перпендикулярны.

Для решения задачи воспользуемся понятием перпендикулярного сечения. Перпендикулярное сечение — это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В данном случае сечением является треугольник.

Поскольку две боковые грани призмы взаимно перпендикулярны, угол между их линиями пересечения с плоскостью перпендикулярного сечения равен $90^\circ$. Это означает, что перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником.

Стороны перпендикулярного сечения равны расстояниям между параллельными боковыми ребрами. По условию, общее ребро двух перпендикулярных граней отстоит от двух других боковых ребер на 11 см и 60 см. Следовательно, катеты этого прямоугольного треугольника равны $a = 11$ см и $b = 60$ см.

Найдем третью сторону перпендикулярного сечения (гипотенузу $c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721} = 61$ см.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$). $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$.

Периметр перпендикулярного сечения: $P_{\perp} = a + b + c = 11 + 60 + 61 = 132$ см.

Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = 132 \text{ см} \cdot 45 \text{ см} = 5940 \text{ см}^2$.

Ответ: $5940 \text{ см}^2$.

Объем

Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения ($S_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$). $V = S_{\perp} \cdot l$.

Площадь перпендикулярного сечения (прямоугольного треугольника): $S_{\perp} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 60 = 330 \text{ см}^2$.

Объем призмы: $V = 330 \text{ см}^2 \cdot 45 \text{ см} = 14850 \text{ см}^3$.

Ответ: $14850 \text{ см}^3$.