Номер 1109, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1109. В параллелепипеде боковое ребро, равное $8 \text{ см}$, наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, диагональное сечение, содержащее большую диагональ, перпендикулярно плоскости основания и имеет площадь $72 \text{ см}^2$. Найдите площадь другого диагонального сечения, учитывая, что основанием параллелепипеда является ромб со стороной $6 \text{ см}$.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — ромб в основании. Пусть $a$ — сторона ромба, $l$ — боковое ребро, $H$ — высота параллелепипеда, $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

По условию задачи:

• Длина бокового ребра $l = AA_1 = 8$ см.
• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 60°$.
• Основание — ромб со стороной $a = 6$ см.
• Диагональное сечение, содержащее большую диагональ (пусть это будет $AC = d_1$), перпендикулярно плоскости основания. Обозначим это сечение $ACC_1A_1$.
• Площадь этого сечения $S_1 = S_{ACC_1A_1} = 72$ см².

Требуется найти площадь другого диагонального сечения $BDD_1B_1$, которое содержит меньшую диагональ $BD = d_2$.

1. Найдем высоту параллелепипеда.
Высота параллелепипеда $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ и углом его наклона к основанию $\alpha$ следующим соотношением:$H = l \cdot \sin(\alpha)$$H = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем большую диагональ основания $d_1$.
Диагональное сечение $ACC_1A_1$ представляет собой параллелограмм. Поскольку его плоскость перпендикулярна плоскости основания, высота этого параллелограмма, проведенная к стороне $AC$, равна высоте самого параллелепипеда $H$. Площадь сечения $S_1$ вычисляется по формуле:$S_1 = AC \cdot H = d_1 \cdot H$Подставим известные значения:$72 = d_1 \cdot 4\sqrt{3}$Отсюда найдем $d_1$:$d_1 = \frac{72}{4\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Найдем меньшую диагональ основания $d_2$.
Для любого ромба существует свойство, связывающее его сторону $a$ и диагонали $d_1$, $d_2$:$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$Подставим известные значения $a = 6$ см и $d_1 = 6\sqrt{3}$ см:$(6\sqrt{3})^2 + d_2^2 = 4 \cdot 6^2$$36 \cdot 3 + d_2^2 = 4 \cdot 36$$108 + d_2^2 = 144$$d_2^2 = 144 - 108 = 36$$d_2 = \sqrt{36} = 6$ см.

4. Найдем площадь другого диагонального сечения $S_2$.
Другое диагональное сечение $BDD_1B_1$ является параллелограммом со сторонами $BD$ и $BB_1$. По условию, плоскость сечения $(ACC_1A_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линия их пересечения — диагональ $AC$. В ромбе диагонали перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$. Согласно теореме о трех перпендикулярах (в более общем виде), если прямая ($BD$), лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения ($AC$), то она перпендикулярна и второй плоскости (плоскости $ACC_1A_1$).Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ACC_1A_1$. Боковое ребро $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$, значит $BD \perp AA_1$. Боковые ребра параллелепипеда параллельны, т.е. $BB_1 \parallel AA_1$. Из того, что $BD \perp AA_1$ и $BB_1 \parallel AA_1$, следует, что $BD \perp BB_1$. Это означает, что угол между сторонами параллелограмма $BDD_1B_1$ равен $90°$, то есть это сечение является прямоугольником. Площадь прямоугольника $BDD_1B_1$ равна произведению длин его смежных сторон:$S_2 = BD \cdot BB_1 = d_2 \cdot l$Подставим найденные значения:$S_2 = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: 48 см².