Номер 1115, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1115. Боковое ребро прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 12 см, а ребра основания — 8 см и 10 см. Площадь четырехугольника $AB_1C_1D$ равна $136 \text{ см}^2$. Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его боковое ребро (высота) равно $h = AA_1 = 12$ см. Ребра основания, которое является параллелограммом $ABCD$, равны $AB = a = 8$ см и $AD = b = 10$ см. Пусть $\alpha$ — угол между ребрами основания, $\alpha = \angle DAB$.

Диагональными сечениями прямого параллелепипеда являются прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$. Их площади равны произведениям диагоналей основания $AC$ и $BD$ на высоту $h$.

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot AA_1 = AC \cdot 12$

$S_{BDD_1B_1} = BD \cdot BB_1 = BD \cdot 12$

Чтобы найти площади сечений, нам необходимо найти длины диагоналей основания $AC$ и $BD$. По теореме косинусов для параллелограмма $ABCD$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB) = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$

Подставим известные значения $a=8$ и $b=10$:

$AC^2 = 8^2 + 10^2 + 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos\alpha = 64 + 100 + 160\cos\alpha = 164 + 160\cos\alpha$

$BD^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos\alpha = 64 + 100 - 160\cos\alpha = 164 - 160\cos\alpha$

Для нахождения $\cos\alpha$ используем площадь четырехугольника $AB_1C_1D$, которая равна 136 см$^2$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$ равны и параллельны (так как $\vec{AD} = \vec{BC}$ и $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$), следовательно, $AB_1C_1D$ — параллелограмм. Его стороны — это $AD=10$ см и $AB_1$. Найдем длину $AB_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$ (так как параллелепипед прямой):

$AB_1 = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208}$ см.

Площадь параллелограмма $AB_1C_1D$ можно вычислить через векторное произведение векторов его смежных сторон $\vec{AD}$ и $\vec{AB_1}$. Введем систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль ребра $AD$, и осью $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Тогда координаты вершин:$A(0,0,0)$, $D(10,0,0)$, $B(8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 0)$, $A_1(0,0,12)$, $B_1(8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 12)$. Векторы сторон:$\vec{AD} = (10, 0, 0)$$\vec{AB_1} = (8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 12)$

Площадь параллелограмма $AB_1C_1D$ равна модулю их векторного произведения:$S_{AB_1C_1D} = |\vec{AD} \times \vec{AB_1}|$

$\vec{AD} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 8\cos\alpha & 8\sin\alpha & 12 \end{vmatrix} = 0\mathbf{i} - 120\mathbf{j} + 80\sin\alpha\mathbf{k} = (0, -120, 80\sin\alpha)$

$S_{AB_1C_1D} = \sqrt{0^2 + (-120)^2 + (80\sin\alpha)^2} = \sqrt{14400 + 6400\sin^2\alpha}$

По условию площадь равна 136 см$^2$:$136 = \sqrt{14400 + 6400\sin^2\alpha}$

Возведем обе части в квадрат:$136^2 = 14400 + 6400\sin^2\alpha$

$18496 = 14400 + 6400\sin^2\alpha$

$6400\sin^2\alpha = 18496 - 14400 = 4096$

$\sin^2\alpha = \frac{4096}{6400} = \frac{64^2}{80^2} = (\frac{64}{80})^2 = (\frac{4}{5})^2 = 0.64$

Так как $\alpha$ — угол в параллелограмме ($0 < \alpha < 180^\circ$), $\sin\alpha > 0$, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Теперь найдем $\cos\alpha$:$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - 0.64 = 0.36$, откуда $\cos\alpha = \pm 0.6$.

Рассмотрим оба случая для нахождения длин диагоналей основания:

1. Если $\cos\alpha = 0.6$:$AC^2 = 164 + 160 \cdot 0.6 = 164 + 96 = 260$$BD^2 = 164 - 160 \cdot 0.6 = 164 - 96 = 68$

2. Если $\cos\alpha = -0.6$:$AC^2 = 164 + 160 \cdot (-0.6) = 164 - 96 = 68$$BD^2 = 164 - 160 \cdot (-0.6) = 164 + 96 = 260$

В обоих случаях длины диагоналей основания равны $\sqrt{260}$ см и $\sqrt{68}$ см.$AC = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см (или $\sqrt{68}$)$BD = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см (или $\sqrt{260}$)

Теперь можем найти площади диагональных сечений:$S_1 = 12 \cdot 2\sqrt{65} = 24\sqrt{65}$ см$^2$$S_2 = 12 \cdot 2\sqrt{17} = 24\sqrt{17}$ см$^2$

Ответ: $24\sqrt{17}$ см$^2$ и $24\sqrt{65}$ см$^2$.