Номер 1114, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1114. Сумма объемов двух подобных призм равна $V$, а отношение соответствующих ребер – $m : n$. Найдите объем каждой призмы.

Пусть объемы двух подобных призм равны $V_1$ и $V_2$.

По условию задачи, сумма их объемов равна $V$:

$V_1 + V_2 = V$

Также по условию, отношение их соответствующих ребер равно $m : n$. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению соответствующих линейных размеров, то есть ребер).

Следовательно, отношение объемов призм равно:

$\frac{V_1}{V_2} = (\frac{m}{n})^3 = \frac{m^3}{n^3}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $V_1$ и $V_2$:

1) $V_1 + V_2 = V$
2) $\frac{V_1}{V_2} = \frac{m^3}{n^3}$

Из второго уравнения выразим $V_1$ через $V_2$:

$V_1 = V_2 \cdot \frac{m^3}{n^3}$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$V_2 \cdot \frac{m^3}{n^3} + V_2 = V$

Вынесем $V_2$ за скобки:

$V_2 \left(\frac{m^3}{n^3} + 1\right) = V$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$V_2 \left(\frac{m^3 + n^3}{n^3}\right) = V$

Отсюда найдем $V_2$:

$V_2 = V \cdot \frac{n^3}{m^3 + n^3} = \frac{Vn^3}{m^3 + n^3}$

Теперь, зная $V_2$, найдем $V_1$ из первого уравнения системы:

$V_1 = V - V_2 = V - \frac{Vn^3}{m^3 + n^3}$

Вынесем $V$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$V_1 = V \left(1 - \frac{n^3}{m^3 + n^3}\right) = V \left(\frac{m^3 + n^3 - n^3}{m^3 + n^3}\right) = V \frac{m^3}{m^3 + n^3} = \frac{Vm^3}{m^3 + n^3}$

Таким образом, объемы призм найдены.

Ответ: Объемы призм равны $\frac{Vm^3}{m^3 + n^3}$ и $\frac{Vn^3}{m^3 + n^3}$.