Номер 1120, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1120. Площадь диагонального сечения куба равна $Q$. Найдите полную поверхность куба и его объем.

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются ребро куба $a$ и диагональ его грани $d$.

Диагональ грани куба (которая является квадратом со стороной $a$) находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:$S_{сеч} = a \cdot d = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь этого сечения равна $Q$. Следовательно, мы можем составить уравнение:$Q = a^2\sqrt{2}$.

Из этого уравнения выразим квадрат ребра куба $a^2$:$a^2 = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.

Теперь, имея это соотношение, мы можем найти полную поверхность и объем куба.

Полная поверхность куба

Полная поверхность куба $S_{полн}$ состоит из шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Формула полной поверхности куба: $S_{полн} = 6a^2$.

Подставим найденное ранее выражение для $a^2$:$S_{полн} = 6 \cdot \frac{Q}{\sqrt{2}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$S_{полн} = \frac{6Q}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6Q\sqrt{2}}{2} = 3Q\sqrt{2}$.

Ответ: $3Q\sqrt{2}$.

Объем куба

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Мы можем представить $a^3$ как $a^2 \cdot a$.

Мы уже знаем, что $a^2 = \frac{Q}{\sqrt{2}}$. Найдем $a$, взяв квадратный корень из этого выражения:$a = \sqrt{\frac{Q}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt[4]{2}}$.

Теперь вычислим объем:$V = a^2 \cdot a = \frac{Q}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt[4]{2}}$.

Используя свойство степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), упростим знаменатель:$V = \frac{Q\sqrt{Q}}{2^{1/2} \cdot 2^{1/4}} = \frac{Q\sqrt{Q}}{2^{1/2+1/4}} = \frac{Q\sqrt{Q}}{2^{3/4}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив дробь на $ \frac{2^{1/4}}{2^{1/4}} $:$V = \frac{Q\sqrt{Q}}{2^{3/4}} \cdot \frac{2^{1/4}}{2^{1/4}} = \frac{Q\sqrt{Q}\sqrt[4]{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{Q\sqrt{Q}\sqrt[4]{2}}{2}$.