Номер 1123, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1123. Ребра основания треугольной призмы равны $a$, боковое ребро длиной $b$ образует с прилежащими ребрами основания углы в $45^\circ$. Найдите боковую поверхность призмы.

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$, ребра которого равны $a$. Длина бокового ребра $AA_1$ равна $b$. По условию, боковое ребро образует с прилежащими ребрами основания углы в $45^\circ$. Это означает, что, например, для вершины $A$ углы $\angle A_1AB = 45^\circ$ и $\angle A_1AC = 45^\circ$.

Боковая поверхность призмы состоит из трех параллелограммов: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих трех граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1}$.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = s_1 s_2 \sin\alpha$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.

Для грани $ABB_1A_1$ стороны равны $AB=a$ и $AA_1=b$, а угол между ними $\angle A_1AB = 45^\circ$. Ее площадь:$S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AB) = a \cdot b \cdot \sin(45^\circ) = ab\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Аналогично для грани $CAA_1C_1$, стороны равны $AC=a$ и $AA_1=b$, а угол между ними $\angle A_1AC = 45^\circ$. Ее площадь:$S_{CAA_1C_1} = AC \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AC) = a \cdot b \cdot \sin(45^\circ) = ab\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения площади третьей грани $BCC_1B_1$ со сторонами $BC=a$ и $BB_1=b$ воспользуемся векторным методом. Площадь этого параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов, на которых он построен: $S_{BCC_1B_1} = |\vec{BC} \times \vec{BB_1}|$.

В призме все боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Вектор стороны основания $\vec{BC}$ можно выразить через векторы, выходящие из вершины A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Тогда $S_{BCC_1B_1} = |(\vec{AC} - \vec{AB}) \times \vec{AA_1}| = |\vec{AC} \times \vec{AA_1} - \vec{AB} \times \vec{AA_1}| = |\vec{AC} \times \vec{AA_1} + \vec{AA_1} \times \vec{AB}|$.

Модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$ равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Следовательно, $|\vec{AC} \times \vec{AA_1}| = S_{CAA_1C_1} = ab\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $|\vec{AA_1} \times \vec{AB}| = S_{ABB_1A_1} = ab\frac{\sqrt{2}}{2}$. Вектор $\vec{v_1} = \vec{AC} \times \vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости грани $CAA_1C_1$, а вектор $\vec{v_2} = \vec{AA_1} \times \vec{AB}$ перпендикулярен плоскости грани $ABB_1A_1$.

Угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ связан с двугранным углом $\gamma$ при ребре $AA_1$. Найдем этот угол, применив сферическую теорему косинусов для трехгранного угла при вершине $A$. Плоские углы этого угла: $\angle A_1AB = 45^\circ$, $\angle A_1AC = 45^\circ$ и $\angle CAB = 60^\circ$ (так как основание — равносторонний треугольник).

$\cos(\angle CAB) = \cos(\angle A_1AB) \cdot \cos(\angle A_1AC) + \sin(\angle A_1AB) \cdot \sin(\angle A_1AC) \cdot \cos(\gamma)$$\cos(60^\circ) = \cos(45^\circ) \cdot \cos(45^\circ) + \sin(45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \cdot \cos(\gamma)$$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\gamma)$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \cdot \cos(\gamma)$$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\gamma)$$0 = \frac{1}{2} \cos(\gamma)$, откуда $\cos(\gamma) = 0$ и $\gamma = 90^\circ$.

Так как двугранный угол прямой, то плоскости граней $ABB_1A_1$ и $CAA_1C_1$ перпендикулярны, а значит, и их векторы нормалей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ перпендикулярны. Следовательно, модуль их суммы (площадь третьей грани) можно найти по теореме Пифагора:$S_{BCC_1B_1} = |\vec{v_1} + \vec{v_2}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2} = \sqrt{\left(ab\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(ab\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2b^2}{2} + \frac{a^2b^2}{2}} = \sqrt{a^2b^2} = ab$.

Суммируем площади трех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{BCC_1B_1} = ab\frac{\sqrt{2}}{2} + ab\frac{\sqrt{2}}{2} + ab = ab\sqrt{2} + ab = ab(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $ab(1 + \sqrt{2})$.