Номер 1116, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1116. Боковое ребро параллелепипеда, равное 20 см, наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Диагональное сечение, содержащее большую диагональ, перпендикулярно плоскости основания. Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда, учитывая, что стороны основания равны 34 см и 42 см, а одна из его диагоналей — 20 см.

Для решения задачи нам нужно найти площади двух диагональных сечений параллелепипеда. Диагональное сечение — это параллелограмм, сторонами которого являются диагональ основания и боковое ребро.

1. Анализ основания параллелепипеда.

Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 42$ см и $b = 34$ см. Одна из его диагоналей равна $d_1 = 20$ см. Найдем вторую диагональ $d_2$, используя свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения:

$20^2 + d_2^2 = 2(42^2 + 34^2)$

$400 + d_2^2 = 2(1764 + 1156)$

$400 + d_2^2 = 2(2920)$

$400 + d_2^2 = 5840$

$d_2^2 = 5840 - 400 = 5440$

$d_2 = \sqrt{5440} = \sqrt{16 \cdot 340} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 85} = 4 \cdot 2 \sqrt{85} = 8\sqrt{85}$ см.

Сравним диагонали: $d_1 = 20$ см и $d_2 = 8\sqrt{85}$ см. Так как $20^2 = 400$ и $(8\sqrt{85})^2 = 5440$, то $d_2 > d_1$. Следовательно, большая диагональ основания равна $8\sqrt{85}$ см, а меньшая — 20 см.

2. Нахождение высоты параллелепипеда и площади первого диагонального сечения.

Пусть боковое ребро $l = 20$ см. Оно наклонено к плоскости основания под углом $\alpha = 45^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ находится по формуле:

$H = l \cdot \sin \alpha = 20 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.

По условию, диагональное сечение, содержащее большую диагональ ($d_2$), перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что высота параллелепипеда $H$ является также высотой этого диагонального сечения (параллелограмма).

Площадь первого диагонального сечения $S_1$ равна произведению большей диагонали основания на высоту параллелепипеда:

$S_1 = d_2 \cdot H = 8\sqrt{85} \cdot 10\sqrt{2} = 80\sqrt{85 \cdot 2} = 80\sqrt{170}$ см².

Ответ: Площадь диагонального сечения, содержащего большую диагональ, равна $80\sqrt{170}$ см².

3. Нахождение площади второго диагонального сечения.

Второе диагональное сечение построено на меньшей диагонали основания $d_1 = 20$ см и боковом ребре $l = 20$ см. Так как смежные стороны этого сечения равны, оно является ромбом.

Для нахождения его площади $S_2$ воспользуемся методом, основанным на свойствах проекций. Пусть $\vec{c}$ — вектор бокового ребра, $\vec{d_1}$ — вектор меньшей диагонали основания. Площадь сечения $S_2 = |\vec{d_1} \times \vec{c}|$.

Вектор $\vec{c}$ можно представить как сумму его проекции на плоскость основания $\vec{p}$ и вектора высоты $\vec{h}$, перпендикулярного основанию: $\vec{c} = \vec{p} + \vec{h}$.

Длина проекции: $|\vec{p}| = l \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Длина высоты: $|\vec{h}| = H = 10\sqrt{2}$ см.

Поскольку сечение с большей диагональю $d_2$ перпендикулярно основанию, проекция $\vec{p}$ лежит на прямой, содержащей большую диагональ $\vec{d_2}$.

Площадь $S_2$ можно вычислить по формуле:

$S_2^2 = |\vec{d_1} \times (\vec{p} + \vec{h})|^2 = |\vec{d_1} \times \vec{p} + \vec{d_1} \times \vec{h}|^2$.

Векторы $\vec{d_1}$ и $\vec{p}$ лежат в плоскости основания, поэтому их векторное произведение $\vec{d_1} \times \vec{p}$ перпендикулярно этой плоскости (параллельно $\vec{h}$). Вектор $\vec{h}$ перпендикулярен $\vec{d_1}$, поэтому их векторное произведение $\vec{d_1} \times \vec{h}$ лежит в плоскости основания. Следовательно, векторы $\vec{d_1} \times \vec{p}$ и $\vec{d_1} \times \vec{h}$ взаимно перпендикулярны. Тогда квадрат модуля их суммы равен сумме квадратов их модулей:

$S_2^2 = |\vec{d_1} \times \vec{p}|^2 + |\vec{d_1} \times \vec{h}|^2$.

Вычислим каждый член отдельно:

1) Так как $\vec{d_1}$ и $\vec{h}$ перпендикулярны, $|\vec{d_1} \times \vec{h}| = |\vec{d_1}| \cdot |\vec{h}| = d_1 \cdot H = 20 \cdot 10\sqrt{2} = 200\sqrt{2}$.

$|\vec{d_1} \times \vec{h}|^2 = (200\sqrt{2})^2 = 40000 \cdot 2 = 80000$.

2) Величина $|\vec{d_1} \times \vec{p}|$ равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{d_1}$ и $\vec{p}$. Так как $\vec{p}$ сонаправлен с $\vec{d_2}$, угол между $\vec{d_1}$ и $\vec{p}$ равен углу $\psi$ между диагоналями основания.

$|\vec{d_1} \times \vec{p}| = |\vec{d_1}| \cdot |\vec{p}| \cdot \sin\psi = d_1 \cdot |\vec{p}| \cdot \sin\psi$.

Найдем $\sin\psi$ через площадь основания $S_{осн}$. Площадь треугольника со сторонами $42, 34, 20$ по формуле Герона:

Полупериметр $s = (42+34+20)/2 = 48$.

$S_{\triangle} = \sqrt{48(48-42)(48-34)(48-20)} = \sqrt{48 \cdot 6 \cdot 14 \cdot 28} = 336$ см².

$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 672$ см².

Также $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\psi$.

$672 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 8\sqrt{85} \cdot \sin\psi = 80\sqrt{85} \sin\psi$.

$\sin\psi = \frac{672}{80\sqrt{85}} = \frac{42}{5\sqrt{85}}$.

Теперь вычислим $|\vec{d_1} \times \vec{p}|^2$:

$|\vec{d_1} \times \vec{p}|^2 = (d_1 \cdot |\vec{p}| \cdot \sin\psi)^2 = (20 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{42}{5\sqrt{85}})^2 = (\frac{200\sqrt{2} \cdot 42}{5\sqrt{85}})^2 = (\frac{40\sqrt{2} \cdot 42}{\sqrt{85}})^2 = (\frac{1680\sqrt{2}}{\sqrt{85}})^2$.

$|\vec{d_1} \times \vec{p}|^2 = \frac{1680^2 \cdot 2}{85} = \frac{2822400 \cdot 2}{85} = \frac{5644800}{85} = \frac{1128960}{17}$.

Сложим оба члена:

$S_2^2 = 80000 + \frac{1128960}{17} = \frac{80000 \cdot 17 + 1128960}{17} = \frac{1360000 + 1128960}{17} = \frac{2488960}{17}$.

$S_2 = \sqrt{\frac{2488960}{17}} = \sqrt{\frac{640 \cdot 3889}{17}} = 8\sqrt{\frac{10 \cdot 3889}{17}} = 8\sqrt{\frac{38890}{17}}$ см².

Ответ: Площадь диагонального сечения, содержащего меньшую диагональ, равна $8\sqrt{\frac{38890}{17}}$ см².