Номер 1113, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1113. Два подобных и неравных прямоугольных параллелепипеда имеют общую грань, стороны которой $a$ и $b$ (рис. 340). Найдите объемы параллелепипедов.

Рис. 340

Пусть измерения первого прямоугольного параллелепипеда $P_1$ равны $\{a, b, c_1\}$, а второго $P_2$ – $\{a, b, c_2\}$, так как по условию у них есть общая грань со сторонами $a$ и $b$.

Поскольку параллелепипеды подобны, их соответствующие измерения пропорциональны. Это означает, что набор измерений одного из них, например $P_2$, можно получить, умножив все измерения другого ($P_1$) на коэффициент подобия $k$. Так как параллелепипеды по условию неравны, то $k \neq 1$.

Итак, набор $\{a, b, c_2\}$ должен быть равен набору $\{ka, kb, kc_1\}$ с точностью до перестановки элементов. Рассмотрим возможные соответствия для сторон $a$ и $b$ из набора измерений $P_2$.

Случай, когда $a=ka$ и $b=kb$, невозможен, так как это привело бы к $k=1$. Также невозможен случай $a=kb$ и $b=ka$, так как из него следует $a/b = k = a/b$ и $b/a=k$, что дает $a^2=b^2$, или $a=b$, и тогда $k=1$. Значит, одна из сторон общей грани, например $a$, должна соответствовать стороне $kb$ (или $ka$), а другая сторона, $b$, - стороне $kc_1$. Третье измерение $c_2$ тогда будет соответствовать оставшейся стороне $ka$.

Запишем систему равенств, вытекающую из этого соответствия:

$a = kb$

$b = kc_1$

$c_2 = ka$

Из первого уравнения находим коэффициент подобия: $k = \frac{a}{b}$.

Подставляем значение $k$ во второе уравнение, чтобы найти $c_1$:

$b = \frac{a}{b} \cdot c_1 \implies c_1 = \frac{b^2}{a}$

Подставляем значение $k$ в третье уравнение, чтобы найти $c_2$:

$c_2 = \frac{a}{b} \cdot a = \frac{a^2}{b}$

Таким образом, мы нашли третьи измерения параллелепипедов. Измерения одного параллелепипеда равны $\{a, b, \frac{b^2}{a}\}$, а другого – $\{a, b, \frac{a^2}{b}\}$.

Теперь найдем их объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его трех измерений.

Объем первого параллелепипеда $V_1$:

$V_1 = a \cdot b \cdot c_1 = a \cdot b \cdot \frac{b^2}{a} = b^3$

Объем второго параллелепипеда $V_2$:

$V_2 = a \cdot b \cdot c_2 = a \cdot b \cdot \frac{a^2}{b} = a^3$

Следовательно, объемы искомых параллелепипедов равны $a^3$ и $b^3$.

Ответ: $a^3$ и $b^3$.