Номер 1108, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1108. В параллелепипеде с боковым ребром 13 см перпендикулярным сечением является ромб с диагональю 8 см и площадью $24 \text{ см}^2$. Учитывая, что котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен $2.4$, найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Площадь боковой поверхности наклонного параллелепипеда равна произведению периметра его перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$).

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

По условию, перпендикулярным сечением является ромб, а длина бокового ребра $l = 13$ см. Нам нужно найти периметр этого ромба.

Известно, что площадь ромба $S_{\perp} = 24$ см², а одна из его диагоналей $d_1 = 8$ см. Площадь ромба также вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Найдем вторую диагональ $d_2$:

$24 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot d_2$

$24 = 4d_2$

$d_2 = 6$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому мы можем найти сторону ромба ($a$) по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник с катетами, равными половинам диагоналей:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8}{2})^2 + (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения (ромба):

$P_{\perp} = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 20 \cdot 13 = 260$ см².

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Площадь основания наклонного параллелепипеда связана с площадью перпендикулярного сечения и углом $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания следующей формулой:

$S_{осн} = \frac{S_{\perp}}{\sin \alpha}$

Нам дан котангенс этого угла: $\cot \alpha = 2,4$. Найдем синус угла, используя тригонометрическое тождество $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$:

$1 + (2,4)^2 = 1 + 5,76 = 6,76$

$\sin^2 \alpha = \frac{1}{6,76} = \frac{100}{676}$

Поскольку угол $\alpha$ в геометрической задаче острый, $\sin \alpha$ положителен:

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{100}{676}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{S_{\perp}}{\sin \alpha} = \frac{24}{5/13} = \frac{24 \cdot 13}{5} = \frac{312}{5} = 62,4$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$).

Для нахождения площади полной поверхности сложим площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 260 + 2 \cdot 62,4 = 260 + 124,8 = 384,8$ см².

Ответ: $384,8 \text{ см}^2$.