Номер 1105, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1105. Ребро основания прямого параллелепипеда равно $a$, сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через это ребро и диагональ боковой грани, имеет площадь $Q$ и образует с боковой гранью двугранный угол, величина которого равна величине острого угла основания (рис. 338). Найдите другое ребро основания.

Рис. 338

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит параллелограмм $ABCD$. Пусть ребро основания $AB = a$, а другое ребро основания $AD = x$, где $x$ — искомая величина. Острый угол основания — $\angle DAB = \alpha$. Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию, обозначим высоту $AA_1 = h$.

Сечение, о котором идет речь в задаче, проходит через ребро $AB$ и содержит диагональ боковой грани $AD_1$. Это сечение представляет собой параллелограмм $ABC_1D_1$. Площадь этого сечения по условию равна $Q$, то есть $S_{ABC_1D_1} = Q$.

По условию, двугранный угол между плоскостью сечения $(ABC_1D_1)$ и боковой гранью равен $\alpha$. Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Найдем угол $\varphi$ между плоскостью сечения $(ABC_1D_1)$ и плоскостью этой грани $(ABB_1A_1)$.

Для нахождения этого угла воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции. Спроектируем сечение $ABC_1D_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$. Так как параллелепипед прямой, боковые грани перпендикулярны основанию. Проекцией точки $D_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$ будет точка $A_1$, а проекцией точки $C_1$ будет точка $B_1$. Таким образом, проекцией параллелограмма $ABC_1D_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$ является прямоугольник $ABB_1A_1$.

Площадь проекции $S_{пр} = S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 = a \cdot h$.

По теореме о площади ортогональной проекции, $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\varphi)$, где $\varphi$ — угол между плоскостями. Согласно условию, этот угол равен $\alpha$, то есть $\varphi = \alpha$.

Получаем первое уравнение:$ah = Q \cdot \cos(\alpha)$(1)

Теперь найдем площадь сечения $Q$ через параметры параллелепипеда. Для этого спроецируем сечение $ABC_1D_1$ на плоскость основания $ABCD$.

Площадь проекции, то есть площадь основания, равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = a \cdot x \cdot \sin(\alpha)$.

Угол $\beta$ между плоскостью сечения $(ABC_1D_1)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения $AB$. Проведем в плоскости основания высоту $DH$ к стороне $AB$. Длина этой высоты $DH = AD \cdot \sin(\angle DAB) = x \sin(\alpha)$. В плоскости сечения линией, соответствующей $DH$, будет $D_1H$. Угол между плоскостями будет равен углу $\angle DHD_1$.

В прямоугольном треугольнике $DHD_1$ (угол $\angle D_1DH=90^\circ$, так как $DD_1$ перпендикулярно основанию) имеем:$\cos(\beta) = \cos(\angle DHD_1) = \frac{DH}{D_1H} = \frac{x \sin(\alpha)}{\sqrt{DD_1^2 + DH^2}} = \frac{x \sin(\alpha)}{\sqrt{h^2 + (x \sin(\alpha))^2}}$.

Применяя снова теорему о площади проекции: $S_{ABCD} = S_{ABC_1D_1} \cdot \cos(\beta)$.$ax \sin(\alpha) = Q \cdot \frac{x \sin(\alpha)}{\sqrt{h^2 + x^2 \sin^2(\alpha)}}$.

Так как $x \ne 0$ и $\alpha$ — острый угол ($\sin(\alpha) \ne 0$), мы можем сократить обе части на $x \sin(\alpha)$:$a = \frac{Q}{\sqrt{h^2 + x^2 \sin^2(\alpha)}}$.

Возведем обе части в квадрат и преобразуем:$a^2 = \frac{Q^2}{h^2 + x^2 \sin^2(\alpha)}$$a^2(h^2 + x^2 \sin^2(\alpha)) = Q^2$$a^2h^2 + a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2$(2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $h$: $h = \frac{Q \cos(\alpha)}{a}$. Подставим это выражение в уравнение (2).

$a^2 \left( \frac{Q \cos(\alpha)}{a} \right)^2 + a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2$

$a^2 \frac{Q^2 \cos^2(\alpha)}{a^2} + a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2$

$Q^2 \cos^2(\alpha) + a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2$

$a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2 - Q^2 \cos^2(\alpha)$

$a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2 (1 - \cos^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:$a^2x^2\sin^2(\alpha) = Q^2 \sin^2(\alpha)$

Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\sin^2(\alpha) \ne 0$, можно разделить обе части на $\sin^2(\alpha)$:$a^2x^2 = Q^2$

Так как длины ребер $a$ и $x$ — положительные величины, извлекаем квадратный корень:$ax = Q$

Отсюда находим искомое ребро $x$:$x = \frac{Q}{a}$

Ответ: $\frac{Q}{a}$