Номер 1098, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1098. Имеется ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Плоскость $\alpha$ проходит через одну из сторон ромба и образует угол $\varphi$ с другой его стороной. Найдите площадь проекции ромба на плоскость $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость вычисляется по формуле:$S_{пр} = S \cdot \cos(\theta)$,где $S$ — площадь исходной фигуры, а $\theta$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В нашем случае фигура — это ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Его площадь $S$ равна:$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$

Пусть ромб — это $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через одну из его сторон, например, через сторону $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости ромба и плоскости $\alpha$ — это прямая $AD$. Угол $\theta$ — это двугранный угол между плоскостью ромба и плоскостью $\alpha$ при ребре $AD$.

По условию, плоскость $\alpha$ образует угол $\varphi$ с другой стороной ромба. Поскольку сторона $BC$ параллельна $AD$ (и, следовательно, параллельна плоскости $\alpha$), речь идет о смежной стороне, например, $AB$. Итак, угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\varphi$.

Для нахождения угла $\theta$ воспользуемся следующим построением.1. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD$ (линию пересечения плоскостей). Длина $BH$ является высотой ромба.2. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BB'$ на плоскость $\alpha$.3. По определению, угол между плоскостями $\theta$ — это угол $\angle BHB'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHB'$ (прямой угол при $B'$). В нем $\cos(\theta) = \frac{B'H}{BH}$. Однако удобнее найти $\sin(\theta) = \frac{BB'}{BH}$.

Длина $BB'$ — это расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$. По определению угла между прямой и плоскостью, угол $\varphi$ — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $AB'$ на плоскость $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB'$ (прямой угол при $B'$) катет $BB'$ равен:$BB' = AB \cdot \sin(\varphi)$.

Длина $BH$ — это высота ромба. Пусть $a$ — сторона ромба, а $\gamma$ — его острый угол. Тогда $BH = a \cdot \sin(\gamma) = AB \cdot \sin(\gamma)$.

Теперь мы можем найти $\sin(\theta)$:$\sin(\theta) = \frac{BB'}{BH} = \frac{AB \cdot \sin(\varphi)}{AB \cdot \sin(\gamma)} = \frac{\sin(\varphi)}{\sin(\gamma)}$

Нам нужен $\cos(\theta)$:$\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2(\varphi)}{\sin^2(\gamma)}} = \frac{\sqrt{\sin^2(\gamma) - \sin^2(\varphi)}}{\sin(\gamma)}$

Теперь выразим $\sin(\gamma)$ через диагонали ромба. Площадь ромба можно записать как $S = a^2 \sin(\gamma)$. Сторону ромба $a$ найдем по теореме Пифагора из треугольника, образованного половинами диагоналей:$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}$

Приравняем два выражения для площади ромба:$\frac{1}{2}d_1 d_2 = a^2 \sin(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} \sin(\gamma)$

Отсюда находим $\sin(\gamma)$:$\sin(\gamma) = \frac{2 d_1 d_2}{d_1^2 + d_2^2}$

Подставим это выражение в формулу для $\cos(\theta)$:$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{\left(\frac{2 d_1 d_2}{d_1^2 + d_2^2}\right)^2 - \sin^2(\varphi)}}{\frac{2 d_1 d_2}{d_1^2 + d_2^2}} = \frac{\sqrt{\frac{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}{(d_1^2 + d_2^2)^2}}}{\frac{2 d_1 d_2}{d_1^2 + d_2^2}}$

$\cos(\theta) = \frac{\frac{\sqrt{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}}{d_1^2 + d_2^2}}{\frac{2 d_1 d_2}{d_1^2 + d_2^2}} = \frac{\sqrt{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}}{2 d_1 d_2}$

Наконец, найдем площадь проекции:$S_{пр} = S \cdot \cos(\theta) = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \frac{\sqrt{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}}{2 d_1 d_2}$

$S_{пр} = \frac{1}{4}\sqrt{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}$

Ответ: $\frac{1}{4}\sqrt{4 d_1^2 d_2^2 - (d_1^2 + d_2^2)^2 \sin^2(\varphi)}$