Номер 1091, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1091. Основанием треугольной пирамиды $SABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = AC = a$. Учитывая, что $SA = SB = SC = b$, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CS$.

Поскольку боковые ребра пирамиды $SABC$ равны ($SA = SB = SC = b$), вершина пирамиды $S$ равноудалена от вершин основания $A, B, C$. Это означает, что основание высоты пирамиды, опущенной из вершины $S$, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы $AB$. Обозначим эту точку как $O$. Таким образом, $SO$ является высотой пирамиды, и $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Из того, что $SO \perp (ABC)$, следует, что $SO \perp AB$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $CO$ является медианой, проведенной к гипотенузе. Треугольник $ABC$ также является равнобедренным, так как $AC = BC = a$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Гипотенуза $AB$ является основанием для равнобедренного треугольника $ABC$ с вершиной $C$. Следовательно, медиана $CO$ является высотой, то есть $CO \perp AB$.

Мы получили, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SO$ и $CO$, которые лежат в плоскости $(SOC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(SOC)$.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(SOC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CS$. Прямая $AB$ пересекает плоскость $(SOC)$ в точке $O$. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CS$ будет равно расстоянию от точки $O$ до прямой $CS$.

Это расстояние является высотой $OH$, опущенной из вершины $O$ на гипотенузу $CS$ в треугольнике $SOC$. Так как $SO$ - высота пирамиды, а $CO$ лежит в основании, то $SO \perp CO$. Следовательно, треугольник $SOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Найдем длины сторон треугольника $SOC$, чтобы вычислить высоту $OH$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AB = a\sqrt{2}$.

2. $CO$ является медианой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, поэтому ее длина равна половине длины гипотенузы: $CO = \frac{1}{2}AB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. В прямоугольном треугольнике $SOC$ известны гипотенуза $SC = b$ и катет $CO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Найдем второй катет $SO$ по теореме Пифагора: $SO^2 = SC^2 - CO^2 = b^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2 - \frac{2a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{2}$. Отсюда $SO = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$.

4. Искомое расстояние $d$ - это высота $OH$ в прямоугольном треугольнике $SOC$. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2}CO \cdot SO$ и $S = \frac{1}{2}CS \cdot OH$. Приравнивая их, получаем: $CO \cdot SO = CS \cdot OH$.

Отсюда $d = OH = \frac{CO \cdot SO}{CS}$. Подставим найденные значения:

$d = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}}{b} = \frac{a\sqrt{2}}{2b} \sqrt{\frac{2b^2 - a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2b} \frac{\sqrt{2b^2 - a^2}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2b^2 - a^2}}{2b}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2b^2-a^2}}{2b}$