Номер 1087, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1087. Прямыми, параллельными диагонали параллелограмма, он разделен на три равновеликие фигуры. Найдите, в каком отношении эти прямые разделяют стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна $S$. Проведем через него две прямые, параллельные одной из диагоналей, например, диагонали $AC$. Одна прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, отсекая от параллелограмма треугольник $BMN$. Вторая прямая пересекает стороны $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, отсекая треугольник $PDQ$.

По условию, эти две прямые делят параллелограмм на три равновеликие (равные по площади) фигуры. Это означает, что площади треугольников $BMN$, $PDQ$ и центрального шестиугольника $AMNCQP$ равны между собой и составляют $S/3$. Таким образом, $S_{\triangle BMN} = \frac{S}{3}$.

Рассмотрим треугольник $BMN$. Так как прямая $MN$ параллельна диагонали $AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ ($\triangle BMN \sim \triangle BAC$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть квадрату отношения их соответствующих сторон:$\frac{S_{\triangle BMN}}{S_{\triangle BAC}} = \left(\frac{BM}{BA}\right)^2$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, $BAC$ и $DAC$. Следовательно, площадь треугольника $BAC$ равна половине площади всего параллелограмма: $S_{\triangle BAC} = \frac{S}{2}$.

Теперь мы можем подставить известные значения площадей в формулу отношения:$\frac{S/3}{S/2} = \left(\frac{BM}{BA}\right)^2$. Упрощая левую часть, получаем:$\frac{2}{3} = \left(\frac{BM}{BA}\right)^2$. Отсюда находим отношение стороны $BM$ к стороне $BA$:$\frac{BM}{BA} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Нам необходимо найти, в каком отношении точка $M$ делит сторону $AB$, то есть найти отношение $AM:MB$. Выразим длину отрезка $AM$ через $BA$ и $BM$: $AM = BA - BM$. Тогда искомое отношение равно:$\frac{AM}{MB} = \frac{BA - BM}{MB} = \frac{BA}{MB} - 1$. Мы уже нашли, что $\frac{BM}{BA} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, следовательно, обратное отношение $\frac{BA}{BM} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Подставляем это значение в выражение для отношения:$\frac{AM}{MB} = \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$.

Таким образом, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $(\sqrt{6} - 2) : 2$. В силу симметрии задачи и свойств параллелограмма, все стороны, которые пересекают данные прямые, будут разделены в таком же отношении.

Ответ: $(\sqrt{6} - 2) : 2$.