Номер 1094, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1094. Через центр куба с ребром 1 см проводят плоскость, перпендикулярную его диагонали. Найдите площадь сечения.

Для решения задачи введем систему координат. Поместим одну из вершин куба в начало координат $O(0, 0, 0)$, а ребра куба направим вдоль осей $Ox, Oy, Oz$. Так как длина ребра куба равна 1 см, координаты вершин куба будут принимать значения 0 или 1.

Пусть диагональ куба, о которой идет речь в задаче, соединяет вершины $O(0, 0, 0)$ и $C'(1, 1, 1)$. Центр куба является серединой этой диагонали, его координаты: $M = (\frac{0+1}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

Плоскость сечения проходит через центр куба $M$ и перпендикулярна диагонали $OC'$. Вектор диагонали $\vec{OC'} = \{1; 1; 1\}$ является нормальным вектором к плоскости сечения. Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = \{A; B; C\}$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставив координаты точки $M$ и нормального вектора, получим уравнение плоскости сечения: $1(x - \frac{1}{2}) + 1(y - \frac{1}{2}) + 1(z - \frac{1}{2}) = 0$ $x + y + z - \frac{3}{2} = 0$ $x + y + z = \frac{3}{2}$

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Ребра куба лежат на прямых, у которых две координаты постоянны (0 или 1), а третья изменяется от 0 до 1. Сечение пройдет через те ребра, которые соединяют вершины с суммой координат $S \le 1$ и вершины с суммой координат $S \ge 2$.

Плоскость пересекает 6 ребер куба:

• Ребро, параллельное оси $Ox$, на грани $z=1, y=0$: $x + 0 + 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_1(\frac{1}{2}, 0, 1)$.
• Ребро, параллельное оси $Oy$, на грани $z=1, x=0$: $0 + y + 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_2(0, \frac{1}{2}, 1)$.
• Ребро, параллельное оси $Oz$, на грани $x=0, y=1$: $0 + 1 + z = \frac{3}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_3(0, 1, \frac{1}{2})$.
• Ребро, параллельное оси $Ox$, на грани $y=1, z=0$: $x + 1 + 0 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_4(\frac{1}{2}, 1, 0)$.
• Ребро, параллельное оси $Oy$, на грани $x=1, z=0$: $1 + y + 0 = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_5(1, \frac{1}{2}, 0)$.
• Ребро, параллельное оси $Oz$, на грани $x=1, y=0$: $1 + 0 + z = \frac{3}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_6(1, 0, \frac{1}{2})$.

Эти шесть точек являются вершинами многоугольника в сечении. Найдем длину стороны этого многоугольника, например, между точками $P_1$ и $P_2$: $s = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (0-\frac{1}{2})^2 + (1-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. В силу симметрии куба и расположения плоскости, все стороны сечения равны. Таким образом, сечение является правильным шестиугольником.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$ Подставим найденное значение стороны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.