Номер 1088, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1088 Круг с радиусом $R$ разделен двумя окружностями с тем же центром на три равновеликие фигуры. Найдите радиусы этих окружностей.

Пусть $S$ - это площадь исходного круга с радиусом $R$. Площадь этого круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Согласно условию задачи, этот круг разделен на три равновеликие фигуры, то есть на три фигуры с одинаковой площадью. Следовательно, площадь каждой из этих трех фигур равна одной трети от общей площади круга:

$S_1 = S_2 = S_3 = \frac{S}{3} = \frac{\pi R^2}{3}$

Обозначим радиусы двух окружностей, которые делят исходный круг, как $r_1$ и $r_2$, при этом будем считать, что $0 < r_1 < r_2 < R$.

Первая, центральная фигура, является кругом с радиусом $r_1$. Ее площадь равна $S_{фигура1} = \pi r_1^2$. Приравнивая эту площадь к одной трети общей площади, находим $r_1$:

$\pi r_1^2 = \frac{\pi R^2}{3}$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r_1^2 = \frac{R^2}{3}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей (радиус может быть только положительным):

$r_1 = \sqrt{\frac{R^2}{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$

Теперь найдем радиус второй окружности, $r_2$. Круг с радиусом $r_2$ состоит из двух первых равновеликих фигур (центрального круга и первого кольца). Следовательно, его площадь равна сумме их площадей:

$S_{круг(r_2)} = S_1 + S_2 = \frac{\pi R^2}{3} + \frac{\pi R^2}{3} = \frac{2\pi R^2}{3}$

Площадь круга с радиусом $r_2$ также выражается формулой $S_{круг(r_2)} = \pi r_2^2$. Приравниваем два выражения для этой площади:

$\pi r_2^2 = \frac{2\pi R^2}{3}$

Разделив обе части на $\pi$, получаем:

$r_2^2 = \frac{2R^2}{3}$

Извлекаем квадратный корень:

$r_2 = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = \frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$

Таким образом, мы нашли радиусы двух искомых окружностей.

Ответ: $\frac{R\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{R\sqrt{6}}{3}$.