Номер 1086, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1086. Внутри треугольника выбрана точка. Из нее проведены перпендикуляры к сторонам и найдены отношения этих перпендикуляров к параллельным им высотам (рис. 334). Докажите, что сумма этих отношений равна единице.

Рис. 334

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$, где $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Обозначим высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно. Площадь треугольника $ABC$ обозначим через $S$. Площадь можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

Пусть $P$ — произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Проведем из точки $P$ перпендикуляры к сторонам треугольника. Обозначим длины этих перпендикуляров как $d_a$, $d_b$ и $d_c$, где $d_a$ — перпендикуляр к стороне $a$, $d_b$ — к стороне $b$, и $d_c$ — к стороне $c$. Перпендикуляр $d_a$ к стороне $a$ параллелен высоте $h_a$, проведенной к той же стороне $a$, так как оба они перпендикулярны стороне $a$. Аналогично, $d_b$ параллельна $h_b$, и $d_c$ параллельна $h_c$.

Требуется доказать, что сумма отношений длин этих перпендикуляров к соответствующим высотам равна единице:

$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} = 1$

Для доказательства используем метод площадей. Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника:

$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$

Выразим площади этих трех треугольников. Длина перпендикуляра $d_a$, опущенного из точки $P$ на сторону $a$ (сторону $BC$), является высотой треугольника $PBC$, проведенной к основанию $BC$. Аналогично для других треугольников:

$S_{PBC} = \frac{1}{2} a d_a$
$S_{PCA} = \frac{1}{2} b d_b$
$S_{PAB} = \frac{1}{2} c d_c$

Теперь рассмотрим искомые отношения. Выразим каждое отношение через площади. Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S$.

Для первого отношения имеем:
$\frac{S_{PBC}}{S} = \frac{\frac{1}{2} a d_a}{\frac{1}{2} a h_a} = \frac{d_a}{h_a}$

Аналогично для двух других отношений:
$\frac{S_{PCA}}{S} = \frac{\frac{1}{2} b d_b}{\frac{1}{2} b h_b} = \frac{d_b}{h_b}$
$\frac{S_{PAB}}{S} = \frac{\frac{1}{2} c d_c}{\frac{1}{2} c h_c} = \frac{d_c}{h_c}$

Теперь сложим эти отношения:

$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} = \frac{S_{PBC}}{S} + \frac{S_{PCA}}{S} + \frac{S_{PAB}}{S} = \frac{S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}}{S}$

Поскольку сумма площадей трех меньших треугольников равна площади исходного треугольника ($S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB} = S_{ABC} = S$), получаем:

$\frac{S}{S} = 1$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} = 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма указанных отношений действительно равна единице.