Номер 1079, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1079. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны $\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$, а периметр — 14.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1 = \sqrt{2}$ и $d_2 = 4\sqrt{3}$.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. По условию $P=14$, следовательно:

$2(a+b) = 14$

$a+b=7$

Для любого параллелограмма справедливо свойство, связывающее длины сторон и диагоналей: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения диагоналей:

$(\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2 = 2(a^2 + b^2)$

$2 + 16 \cdot 3 = 2(a^2 + b^2)$

$2 + 48 = 2(a^2 + b^2)$

$50 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 25$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b=7 \\ a^2+b^2=25 \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 7^2$, что дает $a^2 + 2ab + b^2 = 49$.

Подставим в это уравнение значение $a^2+b^2=25$:

$25 + 2ab = 49$

$2ab = 24$

$ab = 12$

Теперь мы имеем систему $\begin{cases} a+b=7 \\ ab=12 \end{cases}$. Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Решая уравнение, находим корни $x_1=3$ и $x_2=4$. Таким образом, стороны параллелограмма равны 3 и 4.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле $S = ab \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Найдем синус этого угла.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника со сторонами $a, b$ и диагональю $d_1$:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$(\sqrt{2})^2 = 25 - 2 \cdot 12 \cdot \cos(\alpha)$

$2 = 25 - 24 \cos(\alpha)$

$24 \cos(\alpha) = 23$

$\cos(\alpha) = \frac{23}{24}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем $\sin(\alpha)$ (синус угла параллелограмма положителен):

$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{23}{24}\right)^2} = \sqrt{\frac{24^2 - 23^2}{24^2}}$

Используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем:

$\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{(24-23)(24+23)}{24^2}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 47}{576}} = \frac{\sqrt{47}}{24}$

Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:

$S = ab \sin(\alpha) = 12 \cdot \frac{\sqrt{47}}{24} = \frac{\sqrt{47}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{47}}{2}$