Номер 1081, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1081. Две окружности с радиусами $R$ и $3R$ касаются внешним образом (рис. 332). Найдите площадь фигуры, ограниченной ими и их общей касательной.

Рис. 332

Для решения задачи найдем площадь трапеции, образованной центрами окружностей и точками касания, и вычтем из нее площади двух секторов этих окружностей.

1. Построение и нахождение площади трапеции.
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $3R$ соответственно. Пусть $A$ и $B$ — точки касания общей касательной с меньшей и большей окружностями. Тогда $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = 3R$.

Проведем из центра $O_1$ высоту $O_1H$ к основанию $O_2B$. Получим прямоугольник $O_1ABH$ и прямоугольный треугольник $O_1HO_2$.

Найдем стороны треугольника $O_1HO_2$:

• Гипотенуза $O_1O_2$ равна сумме радиусов, так как окружности касаются внешне: $O_1O_2 = R + 3R = 4R$.
• Катет $O_2H$ равен разности радиусов: $O_2H = O_2B - HB = 3R - R = 2R$.
• Второй катет $O_1H$ равен высоте трапеции, то есть длине отрезка $AB$. По теореме Пифагора: $O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2 = (4R)^2 - (2R)^2 = 16R^2 - 4R^2 = 12R^2$.
  Следовательно, высота трапеции $AB = O_1H = \sqrt{12R^2} = 2\sqrt{3}R$.

Площадь трапеции $O_1ABO_2$: $S_{трап} = \frac{O_1A + O_2B}{2} \cdot AB = \frac{R + 3R}{2} \cdot 2\sqrt{3}R = \frac{4R}{2} \cdot 2\sqrt{3}R = 4\sqrt{3}R^2$.

2. Нахождение площадей секторов.
Чтобы найти площади секторов, которые нужно вычесть из площади трапеции, определим их центральные углы.

В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ найдем углы:

• Угол $\angle HO_2O_1$ (угол сектора большой окружности):
  $\cos(\angle HO_2O_1) = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{2R}{4R} = \frac{1}{2}$.
  Значит, $\angle HO_2O_1 = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ радиан.
• Угол $\angle HO_1O_2$:
  $\sin(\angle HO_1O_2) = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{2R}{4R} = \frac{1}{2}$.
  Значит, $\angle HO_1O_2 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Угол сектора малой окружности $\angle AO_1O_2$ состоит из прямого угла $\angle AO_1H$ и угла $\angle HO_1O_2$: $\angle AO_1O_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Теперь вычислим площади секторов:

• Площадь сектора малой окружности: $S_{сек1} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \angle AO_1O_2 = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}$.
• Площадь сектора большой окружности: $S_{сек2} = \frac{1}{2}(3R)^2 \cdot \angle HO_2O_1 = \frac{1}{2} \cdot 9R^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi R^2}{2}$.

3. Нахождение искомой площади.
Искомая площадь $S$ равна площади трапеции за вычетом площадей двух секторов: $S = S_{трап} - S_{сек1} - S_{сек2} = 4\sqrt{3}R^2 - \frac{\pi R^2}{3} - \frac{3\pi R^2}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $S = 4\sqrt{3}R^2 - (\frac{2\pi R^2}{6} + \frac{9\pi R^2}{6}) = 4\sqrt{3}R^2 - \frac{11\pi R^2}{6}$.

Вынесем $R^2$ за скобки: $S = R^2(4\sqrt{3} - \frac{11\pi}{6})$.

Ответ: $R^2(4\sqrt{3} - \frac{11\pi}{6})$.