Номер 1078, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1078. Угол $A$ треугольника $ABC$ на $90^\circ$ больше угла $B$. Найдите сторону $AB$, учитывая, что $AC = 15$ см и $BC = 20$ см.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a = BC = 20$ см, $b = AC = 15$ см, и $c = AB$. Углы, противолежащие этим сторонам, обозначим как $A$, $B$, и $C$ соответственно.

По условию, угол $A$ на $90^\circ$ больше угла $B$, то есть $A = B + 90^\circ$.

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $

Подставим известные значения и соотношение углов: $ \frac{20}{\sin(B + 90^\circ)} = \frac{15}{\sin B} $

Используя формулу приведения $\sin(x + 90^\circ) = \cos x$, получим: $ \frac{20}{\cos B} = \frac{15}{\sin B} $

Из этого соотношения можно найти тангенс угла $B$: $ 20 \sin B = 15 \cos B $ $ \frac{\sin B}{\cos B} = \tan B = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $

Зная тангенс угла, можно найти его синус и косинус. Поскольку $A, B, C$ – углы треугольника, то $A+B+C=180^\circ$. Подставив $A = B + 90^\circ$, получаем $(B + 90^\circ) + B + C = 180^\circ$, откуда $2B + C = 90^\circ$. Так как угол $C > 0$, то $2B < 90^\circ$, и значит, угол $B$ – острый ($0 < B < 45^\circ$). Для острого угла синус и косинус положительны. Из соотношения $\tan B = 3/4$ находим: $ \sin B = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3}{5} $ $ \cos B = \frac{4}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{4}{5} $

Теперь, зная две стороны и косинус угла между ними (стороны $a$ и $c$ и угол $B$), можем найти искомую сторону $c = AB$ с помощью теоремы косинусов. Теорема косинусов для стороны $b = AC$: $ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $

Подставим известные значения: $ 15^2 = 20^2 + c^2 - 2 \cdot 20 \cdot c \cdot \frac{4}{5} $ $ 225 = 400 + c^2 - 32c $

Получаем квадратное уравнение относительно $c$: $ c^2 - 32c + 175 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $ D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 175 = 1024 - 700 = 324 = 18^2 $
Корни уравнения: $ c_1 = \frac{32 - 18}{2} = \frac{14}{2} = 7 $
$ c_2 = \frac{32 + 18}{2} = \frac{50}{2} = 25 $

Получили два возможных значения для стороны $AB$. Необходимо проверить, какое из них удовлетворяет исходному условию $A = B + 90^\circ$.

Проверка 1: $c = 7$ см
Найдем косинус угла $A$ по теореме косинусов для стороны $a = BC$: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ $ 20^2 = 15^2 + 7^2 - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos A $ $ 400 = 225 + 49 - 210 \cos A $ $ 400 = 274 - 210 \cos A $ $ 210 \cos A = 274 - 400 = -126 $ $ \cos A = -\frac{126}{210} = -\frac{3}{5} $
Проверим условие $A = B + 90^\circ$. Это равносильно тому, что $\cos A = \cos(B + 90^\circ) = -\sin B$. Мы ранее нашли, что $\sin B = 3/5$. Следовательно, $-\sin B = -3/5$. Так как полученное значение $\cos A = -3/5$ совпадает с требуемым значением $-\sin B$, то $c = 7$ является верным решением.

Проверка 2: $c = 25$ см
Найдем косинус угла $A$ по теореме косинусов: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ $ 20^2 = 15^2 + 25^2 - 2 \cdot 15 \cdot 25 \cdot \cos A $ $ 400 = 225 + 625 - 750 \cos A $ $ 400 = 850 - 750 \cos A $ $ 750 \cos A = 850 - 400 = 450 $ $ \cos A = \frac{450}{750} = \frac{3}{5} $
Однако, как мы установили, условие $A = B + 90^\circ$ требует, чтобы $\cos A = -3/5$. Поскольку $3/5 \neq -3/5$, это решение не удовлетворяет условию задачи и является посторонним корнем.

Таким образом, единственное верное решение — $AB = 7$ см.
Ответ: $7$ см.