Номер 1071, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1071. Стороны параллелограмма равны 4 см и 7 см. Найдите отношение, в котором биссектриса одного из углов разделяет его площадь.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = CD = 4$ см и $AD = BC = 7$ см. Рассмотрим биссектрису одного из углов, например, угла $A$. Пусть биссектриса $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAK = \angle DAK$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AK$. Следовательно, $\angle BAK = \angle BKA$.

Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $AB = BK$. По условию $AB = 4$ см, значит $BK = 4$ см. Так как длина стороны $BC$ равна 7 см, а $BK = 4$ см, точка $K$ действительно лежит на стороне $BC$, а не на ее продолжении.

Биссектриса $AK$ разделяет параллелограмм $ABCD$ на две фигуры: треугольник $ABK$ и трапецию $AKCD$. Найдем отношение их площадей. Проведем высоту $h$ параллелограмма, опущенную на сторону $BC$. Эта высота также является высотой треугольника $ABK$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $BK$.

Площадь треугольника $ABK$ вычисляется по формуле:$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h = 2h$.

Площадь всего параллелограмма $ABCD$ равна:$S_{ABCD} = BC \cdot h = 7h$.

Площадь трапеции $AKCD$ можно найти как разность площадей параллелограмма и треугольника:$S_{AKCD} = S_{ABCD} - S_{ABK} = 7h - 2h = 5h$.

Теперь найдем отношение, в котором биссектриса разделила площадь параллелограмма. Это отношение площади треугольника $ABK$ к площади трапеции $AKCD$:$\frac{S_{ABK}}{S_{AKCD}} = \frac{2h}{5h} = \frac{2}{5}$.

Таким образом, площади разделенных частей относятся как $2:5$. Если бы мы рассматривали биссектрису любого другого угла параллелограмма, результат был бы аналогичным, так как она всегда отсекала бы от параллелограмма равнобедренный треугольник, площадь которого составляла бы $\frac{4}{7}$ площади треугольника, имеющего с ним общую высоту и основание на той же прямой, что и большая сторона параллелограмма, что привело бы к тому же соотношению площадей.

Ответ: $2:5$.