Номер 1070, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1070. На сторонах треугольника $ABC$ отмечены точки: $C_1$ и $C_2$ на $AB$, $A_1$ и $A_2$ на $BC$, $B_1$ и $B_2$ на $CA$, разделяющие каждую сторону в отношении $2:1:2$ (рис. 330). Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_2B_2$, $B_2C_2$, $C_2A_2$, учитывая, что площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Рис. 330

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$. Согласно условию, на каждой стороне треугольника отмечены по две точки, которые делят сторону в отношении $2:1:2$. Общее число частей равно $2+1+2=5$.

Рассмотрим сторону $AB$. Точки $C_1$ и $C_2$ делят её так, что $AC_1 : C_1C_2 : C_2B = 2:1:2$. Из этого следует, что $AC_1 = \frac{2}{5}AB$ и $AC_2 = \frac{2+1}{5}AB = \frac{3}{5}AB$. Аналогично для других сторон:

• На стороне $BC$: $BA_1 = \frac{2}{5}BC$ и $BA_2 = \frac{3}{5}BC$.
• На стороне $CA$: $CB_1 = \frac{2}{5}CA$ и $CB_2 = \frac{3}{5}CA$.

Фигура, площадь которой нужно найти, является пересечением двух треугольников: $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$.

1. Найдем площадь треугольника $A_1B_1C_1$.

Площадь $\triangle A_1B_1C_1$ можно найти, вычитая из площади $\triangle ABC$ площади трех угловых треугольников: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

Площадь треугольника $AC_1B_1$ находится через отношение площадей.$S_{\triangle AC_1B_1} = \frac{1}{2} AC_1 \cdot AB_1 \sin(\angle A)$. Из условия $CB_1 = \frac{2}{5}CA$, следует, что $AB_1 = CA - CB_1 = CA - \frac{2}{5}CA = \frac{3}{5}CA$. Также мы знаем, что $AC_1 = \frac{2}{5}AB$. Тогда $S_{\triangle AC_1B_1} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}AB\right) \cdot \left(\frac{3}{5}CA\right) \sin(\angle A) = \frac{6}{25} \left(\frac{1}{2} AB \cdot CA \sin(\angle A)\right) = \frac{6}{25} S$.

Аналогично для двух других треугольников:$S_{\triangle BA_1C_1} = \frac{BA_1}{BC} \cdot \frac{BC_1}{BA} S = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{25}S$.$S_{\triangle CB_1A_1} = \frac{CB_1}{CA} \cdot \frac{CA_1}{CB} S = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{25}S$.

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна:$S_{\triangle A_1B_1C_1} = S - S_{\triangle AC_1B_1} - S_{\triangle BA_1C_1} - S_{\triangle CB_1A_1} = S - 3 \cdot \frac{6}{25}S = S - \frac{18}{25}S = \frac{7}{25}S$.

2. Найдем площадь треугольника $A_2B_2C_2$.

Аналогично, площадь $\triangle A_2B_2C_2$ можно найти, вычитая из площади $\triangle ABC$ площади угловых треугольников $\triangle AC_2B_2$, $\triangle BA_2C_2$ и $\triangle CB_2A_2$.

$S_{\triangle AC_2B_2} = \frac{AC_2}{AB} \cdot \frac{AB_2}{AC} S$.$AC_2 = \frac{3}{5}AB$ и $AB_2 = CA - CB_2 = CA - \frac{3}{5}CA = \frac{2}{5}CA$.$S_{\triangle AC_2B_2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{6}{25}S$.

По симметрии, $S_{\triangle BA_2C_2} = \frac{6}{25}S$ и $S_{\triangle CB_2A_2} = \frac{6}{25}S$.

Площадь треугольника $A_2B_2C_2$ равна:$S_{\triangle A_2B_2C_2} = S - 3 \cdot \frac{6}{25}S = S - \frac{18}{25}S = \frac{7}{25}S$.

3. Найдем площадь центральной фигуры.

Центральная фигура, как видно из рисунка, является шестиугольником, образованным пересечением треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$.

Данная задача является частным случаем известной теоремы о площади центрального шестиугольника. Если стороны треугольника $ABC$ делятся точками так, что образуются два вписанных треугольника, вершины которых делят стороны в отношениях $m:n$ и $n:m$ (в нашем случае $m=2, n=3$), то площадь их пересечения (центрального шестиугольника) вычисляется по формуле:

$S_{hex} = S \cdot \frac{(m-n)^2}{m^2+mn+n^2}$

В нашем случае точки $A_1, B_1, C_1$ делят стороны $BC, CA, AB$ в отношении $2:3$ (например, $BA_1:A_1C = 2:3$), а точки $A_2, B_2, C_2$ делят те же стороны в отношении $3:2$ (например, $BA_2:A_2C = 3:2$).Подставим значения $m=2$ и $n=3$ в формулу:

$S_{hex} = S \cdot \frac{(2-3)^2}{2^2+2\cdot3+3^2} = S \cdot \frac{(-1)^2}{4+6+9} = S \cdot \frac{1}{19} = \frac{S}{19}$.

Ответ: $\frac{S}{19}$.