Номер 1066, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1066. На основании равнобедренного треугольника с боковой стороной $a$ выбрана точка на расстоянии $b$ от вершины (рис. 328). Учитывая, что прямая, проведенная через эту точку и вершину треугольника, разделяет угол при вершине в отношении 2:1, найдите площадь треугольника.

Рис. 328

Обозначим равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AB = AC = a$ — боковые стороны, а $BC$ — основание. Пусть $D$ — точка на основании $BC$, такая что расстояние от вершины $A$ до этой точки равно $b$, то есть $AD = b$.

Прямая $AD$ делит угол при вершине $\angle BAC$ в отношении $2:1$. Пусть $\angle CAD = \alpha$, тогда $\angle BAD = 2\alpha$. Весь угол при вершине равен $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(3\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(3\alpha)$. Для нахождения площади необходимо определить значение $\sin(3\alpha)$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Обозначим эти углы через $\beta$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому:$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 3\alpha + 2\beta = 180^\circ$. Отсюда можно выразить $\beta$: $\beta = \frac{180^\circ - 3\alpha}{2} = 90^\circ - \frac{3\alpha}{2}$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ACD$:$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle C)} \implies \frac{a}{\sin(\angle ADC)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$. Угол $\angle ADC$ найдем из суммы углов треугольника $ACD$:$\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle C = 180^\circ - \alpha - \beta$. Подставим ранее найденное выражение для $\beta$:$\angle ADC = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \frac{3\alpha}{2}) = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Теперь подставим выражения для углов в уравнение теоремы синусов:$\frac{a}{\sin(90^\circ + \frac{\alpha}{2})} = \frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{3\alpha}{2})}$. Используя формулы приведения $\sin(90^\circ + x) = \cos(x)$ и $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:$\frac{a}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{b}{\cos(\frac{3\alpha}{2})}$. Отсюда $a \cos(\frac{3\alpha}{2}) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$, где $x = \frac{\alpha}{2}$:$a (4\cos^3(\frac{\alpha}{2}) - 3\cos(\frac{\alpha}{2})) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$. Поскольку $\alpha$ — угол в треугольнике, $\cos(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$, поэтому можно разделить обе части на $\cos(\frac{\alpha}{2})$:$a (4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 3) = b \implies 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 3 + \frac{b}{a} = \frac{3a+b}{a}$.$\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{3a+b}{4a}$.

Теперь найдем $\cos(\alpha)$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$:$\cos(\alpha) = 2 \left( \frac{3a+b}{4a} \right) - 1 = \frac{3a+b}{2a} - 1 = \frac{3a+b-2a}{2a} = \frac{a+b}{2a}$.

Для вычисления площади нам нужен $\sin(3\alpha)$. Воспользуемся формулой синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = \sin(\alpha)(4\cos^2(\alpha) - 1)$. Сначала найдем $\sin(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества:$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{a+b}{2a}\right)^2 = \frac{4a^2 - (a+b)^2}{4a^2} = \frac{(2a - (a+b))(2a + (a+b))}{4a^2} = \frac{(a-b)(3a+b)}{4a^2}$. Поскольку $\alpha$ — угол треугольника, $\sin(\alpha) > 0$, следовательно:$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{2a}$.(Для того чтобы корень был действительным числом, должно выполняться условие $a \ge b$. Случай $a=b$ приводит к вырожденному треугольнику, поэтому $a > b$).

Теперь вычислим второй множитель $(4\cos^2(\alpha) - 1)$:$4\cos^2(\alpha) - 1 = 4\left(\frac{a+b}{2a}\right)^2 - 1 = \frac{(a+b)^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2}{a^2} = \frac{2ab+b^2}{a^2} = \frac{b(2a+b)}{a^2}$.

Теперь можем найти $\sin(3\alpha)$:$\sin(3\alpha) = \sin(\alpha)(4\cos^2(\alpha) - 1) = \frac{\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{2a} \cdot \frac{b(2a+b)}{a^2} = \frac{b(2a+b)\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{2a^3}$.

Наконец, подставляем найденное значение $\sin(3\alpha)$ в формулу для площади треугольника:$S = \frac{1}{2} a^2 \sin(3\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \left( \frac{b(2a+b)\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{2a^3} \right) = \frac{a^2 b(2a+b)\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{4a^3} = \frac{b(2a+b)\sqrt{(a-b)(3a+b)}}{4a}$.

Выражение под корнем можно также записать в виде $3a^2-2ab-b^2$.

Ответ: $S = \frac{b(2a+b)\sqrt{3a^2-2ab-b^2}}{4a}$.