Номер 1060, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1060. Найдите сторону ромба, учитывая, что сумма его диагоналей равна $m$, а площадь — $S$.

Обозначим диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, а сторону ромба как $a$.

По условию задачи, нам даны:

1. Сумма диагоналей: $d_1 + d_2 = m$

2. Площадь ромба: $S = \frac{1}{2}d_1d_2$

Из формулы площади мы можем выразить произведение диагоналей:

$d_1d_2 = 2S$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}$

Теперь нам нужно выразить $d_1^2 + d_2^2$ через известные нам $m$ и $S$. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2$

Отсюда выразим сумму квадратов:

$d_1^2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2$

Подставим в это выражение известные нам значения $d_1 + d_2 = m$ и $d_1d_2 = 2S$:

$d_1^2 + d_2^2 = m^2 - 2(2S) = m^2 - 4S$

Теперь подставим полученное выражение для $d_1^2 + d_2^2$ в формулу для квадрата стороны ромба:

$a^2 = \frac{m^2 - 4S}{4}$

Наконец, найдем сторону $a$, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{\frac{m^2 - 4S}{4}} = \frac{\sqrt{m^2 - 4S}}{2}$

Задача имеет решение при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $m^2 - 4S \geq 0$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{m^2 - 4S}$