Номер 1058, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1058. Точки $P$, $Q$, $R$ на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ расположены так, что $AP : PB = 2 : 3$, $BQ : QC = 1 : 2$, $CR : RA = 3 : 1$ (рис. 326). Учитывая, что $O$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $RB$, найдите, какую часть площади треугольника $ABC$ составляет:

а) площадь треугольника $BOQ$;

б) площадь четырехугольника $PORA$.

Рис. 326

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S$.

Из условия задачи имеем следующие соотношения сторон:

• $AP : PB = 2 : 3 \implies AP = \frac{2}{5}AB, PB = \frac{3}{5}AB$
• $BQ : QC = 1 : 2 \implies BQ = \frac{1}{3}BC, QC = \frac{2}{3}BC$
• $CR : RA = 3 : 1 \implies RA = \frac{1}{4}AC, CR = \frac{3}{4}AC$

Для решения задачи найдем положение точки $O$. Проверим, выполняется ли теорема Чевы для чевиан $AQ$, $BR$ и $CP$.

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = 1$.

Так как произведение отношений равно 1, то чевианы $AQ$, $BR$ и $CP$ пересекаются в одной точке. Назовем ее $O'$.

По условию, $O$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $RB$. Докажем, что точка $O$ лежит также и на прямой $AQ$, и, следовательно, совпадает с точкой $O'$.

Рассмотрим треугольник $AQC$ и секущую $ROB$. По теореме Менелая:

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{ \frac{1}{3}BC } \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{QO}{OA} = 1 \implies \frac{QO}{OA} = 1$, то есть $QO = OA$.

Это означает, что точка $O$ лежит на отрезке $AQ$. Поскольку $O$ по определению лежит на $RB$, а мы доказали, что она лежит и на $AQ$, то $O$ является точкой пересечения $AQ$ и $RB$. Таким образом, точка $O$ совпадает с точкой $O'$ — точкой пересечения трех чевиан.

Теперь мы можем найти отношение, в котором точка $O$ делит отрезок $RB$. Воспользуемся теоремой Ван Обеля для точки $O$:

$\frac{BO}{OR} = \frac{BP}{PA} + \frac{BQ}{QC}$

$\frac{BO}{OR} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, $BO : OR = 2 : 1$, откуда следует, что $BO = \frac{2}{3}BR$ и $OR = \frac{1}{3}BR$.

а)

Найдем площадь треугольника $BOQ$ ($S_{BOQ}$). Для этого выразим ее через площадь $S$ треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $RBC$ относится к площади треугольника $ABC$ так же, как их основания $RC$ и $AC$, поскольку у них общая высота из вершины $B$.

$S_{RBC} = \frac{RC}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{3}{4}S$.

Теперь рассмотрим треугольник $RBC$. Площадь треугольника $RBQ$ относится к площади треугольника $RBC$ так же, как их основания $BQ$ и $BC$, поскольку у них общая высота из вершины $R$.

$S_{RBQ} = \frac{BQ}{BC} \cdot S_{RBC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}S = \frac{1}{4}S$.

Наконец, рассмотрим треугольник $RBQ$. Площадь треугольника $BOQ$ относится к площади треугольника $RBQ$ так же, как их основания $BO$ и $RB$, поскольку у них общая высота из вершины $Q$.

$S_{BOQ} = \frac{BO}{RB} \cdot S_{RBQ} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}S = \frac{2}{12}S = \frac{1}{6}S$.

Таким образом, площадь треугольника $BOQ$ составляет $\frac{1}{6}$ площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{1}{6}$ площади треугольника $ABC$.

б)

Найдем площадь четырехугольника $PORA$. Площадь этого четырехугольника можно найти как разность площадей треугольников $ABR$ и $PBO$.

$S_{PORA} = S_{ABR} - S_{PBO}$.

Найдем площадь треугольника $ABR$. Треугольники $ABR$ и $ABC$ имеют общую высоту из вершины $B$, поэтому их площади относятся как основания $AR$ и $AC$.

$S_{ABR} = \frac{AR}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4}S$.

Теперь найдем площадь треугольника $PBO$. Сначала найдем площадь треугольника $ABO$. В треугольнике $ABR$ отрезок $AO$ является чевианой. Но проще рассмотреть $BO$ как часть $BR$. Треугольники $ABO$ и $ABR$ имеют общую высоту из вершины $A$, поэтому их площади относятся как основания $BO$ и $BR$.

$S_{ABO} = \frac{BO}{BR} \cdot S_{ABR} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}S = \frac{2}{12}S = \frac{1}{6}S$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABO$. Отрезок $PO$ является его частью. Треугольники $PBO$ и $ABO$ имеют общую высоту из вершины $O$, поэтому их площади относятся как основания $PB$ и $AB$.

$S_{PBO} = \frac{PB}{AB} \cdot S_{ABO} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}S = \frac{3}{30}S = \frac{1}{10}S$.

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника $PORA$.

$S_{PORA} = S_{ABR} - S_{PBO} = \frac{1}{4}S - \frac{1}{10}S = (\frac{5}{20} - \frac{2}{20})S = \frac{3}{20}S$.

Таким образом, площадь четырехугольника $PORA$ составляет $\frac{3}{20}$ площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{3}{20}$ площади треугольника $ABC$.