Номер 1052, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1052. Медиана $BK$ длиной $m$ образует со сторонами $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

Для решения задачи воспользуемся методом достроения до параллелограмма. Продлим медиану $BK$ за точку $K$ на ее длину до точки $D$ так, что $BK = KD = m$. Таким образом, длина отрезка $BD$ равна $2m$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. По определению медианы, $K$ является серединой стороны $AC$ ($AK=KC$). По нашему построению, $K$ также является серединой отрезка $BD$. Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, в частности $AD \parallel BC$. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $BD$. Накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle ADB = \angle CBD$. По условию задачи $\angle CBK = \beta$, а так как точка $K$ лежит на отрезке $BD$, то $\angle CBD = \angle CBK = \beta$. Следовательно, $\angle ADB = \beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем нам известны:

• сторона $BD = 2m$;
• угол $\angle ABD = \angle ABK = \alpha$ (по условию);
• угол $\angle ADB = \beta$ (как было доказано выше);
• третий угол $\angle BAD = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим к треугольнику $ABD$ теорему синусов:

$$ \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} $$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем соотношение:

$$ \frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Из этого общего соотношения мы можем найти искомую сторону $AB$ и, используя свойство параллелограмма ($AD=BC$), сторону $BC$.

Нахождение стороны AB

Возьмем первую и третью части пропорции:

$$ \frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Выразим отсюда $AB$:

$$ AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Ответ: $AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Нахождение стороны BC

Возьмем вторую и третью части пропорции, чтобы найти $AD$:

$$ \frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} $$

$$ AD = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны, то есть $BC = AD$.

Ответ: $BC = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$.