Номер 1049, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1049. Центр окружности $\omega$ с радиусом $R$ есть середина отрезка $AB$, точка $M$ взята на окружности $\omega$ (рис. 324). Найдите сумму квадратов расстояний от точки $M$ до концов отрезка $AB$, учитывая, что длина отрезка $AB$ равна $2a$.

Рис. 324

Пусть O — центр окружности ω. Согласно условию задачи, точка O также является серединой отрезка AB.

Длина отрезка AB задана как $2a$. Поскольку O — середина AB, то расстояния от точки O до концов отрезка A и B равны половине его длины:

$AO = BO = \frac{AB}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Точка M взята на окружности ω, которая имеет центр в точке O и радиус R. По определению окружности, расстояние от любой ее точки до центра равно радиусу. Таким образом, длина отрезка OM равна R:

$OM = R$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A, M и B, то есть треугольник AMB. В этом треугольнике отрезок OM соединяет вершину M с серединой противолежащей стороны AB (точкой O). Следовательно, отрезок OM является медианой треугольника AMB.

Требуется найти сумму квадратов расстояний от точки M до концов отрезка AB, то есть величину $AM^2 + BM^2$. Эту сумму можно вычислить с помощью теоремы о связи сторон и медианы треугольника (теорема Аполлония). Она гласит, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадратов медианы, проведенной к третьей стороне, и половины этой третьей стороны.

Для треугольника AMB и медианы OM формула выглядит следующим образом:

$AM^2 + BM^2 = 2 \cdot (OM^2 + AO^2)$.

Теперь подставим в эту формулу известные нам значения длин: $OM = R$ и $AO = a$.

$AM^2 + BM^2 = 2 \cdot (R^2 + a^2)$.

Раскрыв скобки, получаем окончательное выражение для искомой суммы:

$AM^2 + BM^2 = 2R^2 + 2a^2$.

Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки M до концов отрезка AB является постоянной величиной для любой точки M, лежащей на данной окружности.

Ответ: $2R^2 + 2a^2$.