Номер 1042, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1042. Высоты параллелограмма с периметром 80 см и углом $30^\circ$ относятся как $2 : 3$. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно. Периметр параллелограмма $P$ равен $2(a+b)$, а его площадь $S$ можно вычислить по формулам $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

По условию, периметр равен 80 см:

$P = 2(a+b) = 80$ см.

Отсюда находим сумму смежных сторон:

$a+b = \frac{80}{2} = 40$ см.

Также по условию высоты относятся как $2:3$:

$\frac{h_a}{h_b} = \frac{2}{3}$

Из формулы площади $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ можно выразить отношение сторон:

$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a} = \frac{3}{2}$

Таким образом, $a = \frac{3}{2}b$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения сторон:

$\begin{cases} a+b = 40 \\ a = \frac{3}{2}b \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{3}{2}b + b = 40$

$\frac{5}{2}b = 40$

$b = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$ см.

Тогда вторая сторона $a$ равна:

$a = 40 - b = 40 - 16 = 24$ см.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. По условию, один из углов параллелограмма равен $30^\circ$.

$S = 24 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = 24 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot 16 = 192$ см².

Ответ: $192$ см².