Номер 1043, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1043. Найдите площадь треугольника со сторонами:

а) 6 см, 25 см и 29 см;

б) 5 см, $8\frac{2}{3}$ см и $12\frac{1}{3}$ см;

в) $\sqrt{5}$ см, $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{13}$ см.

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

а)

Даны стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 25$ см, $c = 29$ см.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Вычислим значения выражений в скобках:
$p - a = 30 - 6 = 24$ см
$p - b = 30 - 25 = 5$ см
$p - c = 30 - 29 = 1$ см

3. Подставим найденные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

Ответ: 60 см².

б)

Даны стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 8\frac{2}{3}$ см, $c = 12\frac{1}{3}$ см.

1. Переведем смешанные дроби в неправильные:
$b = 8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$ см
$c = 12\frac{1}{3} = \frac{12 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{37}{3}$ см

2. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{5 + \frac{26}{3} + \frac{37}{3}}{2} = \frac{\frac{15}{3} + \frac{26}{3} + \frac{37}{3}}{2} = \frac{\frac{78}{3}}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

3. Вычислим значения выражений в скобках:
$p - a = 13 - 5 = 8$ см
$p - b = 13 - \frac{26}{3} = \frac{39 - 26}{3} = \frac{13}{3}$ см
$p - c = 13 - \frac{37}{3} = \frac{39 - 37}{3} = \frac{2}{3}$ см

4. Подставим найденные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{13 \cdot 8 \cdot \frac{13}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 8 \cdot 13 \cdot 2}{9}} = \sqrt{\frac{13^2 \cdot 16}{9}} = \frac{\sqrt{13^2 \cdot 4^2}}{\sqrt{9}} = \frac{13 \cdot 4}{3} = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3}$ см².

Ответ: $17\frac{1}{3}$ см².

в)

Даны стороны треугольника: $a = \sqrt{5}$ см, $b = \sqrt{10}$ см, $c = \sqrt{13}$ см.

1. Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Найдем косинус этого угла по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

2. Выразим $\cos(\gamma)$ и подставим значения сторон:
$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos(\gamma) = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5 + 10 - 13}{2\sqrt{50}} = \frac{2}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

3. Найдем синус угла $\gamma$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$. Так как $\gamma$ — угол треугольника, $\sin(\gamma) > 0$.
$\sin(\gamma) = \sqrt{1 - \cos^2(\gamma)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{100}} = \sqrt{\frac{98}{100}} = \frac{\sqrt{49 \cdot 2}}{10} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.

4. Теперь вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{5 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 10} = \frac{35 \cdot 2}{20} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2} = 3.5$ см².

Ответ: 3.5 см².