Номер 1040, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1040. В треугольнике известны две стороны $a$ и $b$ (рис. 321). Найдите третью сторону, учитывая, что высота, проведенная к ней, равна сумме высот, проведенных к известным сторонам.

Рис. 321

Пусть в треугольнике известны стороны $a$ и $b$, а третья, неизвестная сторона, равна $c$. Обозначим высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно.

Площадь любого треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Применим эту формулу для каждой из сторон нашего треугольника:
$S = \frac{1}{2} a h_a$
$S = \frac{1}{2} b h_b$
$S = \frac{1}{2} c h_c$

Из этих равенств можно выразить высоты через площадь и длины соответствующих сторон:
$h_a = \frac{2S}{a}$
$h_b = \frac{2S}{b}$
$h_c = \frac{2S}{c}$

Согласно условию задачи, высота, проведенная к третьей стороне ($c$), равна сумме высот, проведенных к известным сторонам ($a$ и $b$). Запишем это в виде уравнения:
$h_c = h_a + h_b$

Теперь подставим в это уравнение выражения для высот, которые мы получили ранее:
$\frac{2S}{c} = \frac{2S}{a} + \frac{2S}{b}$

Так как площадь существующего треугольника $S$ больше нуля, мы можем сократить обе части уравнения на $2S$:
$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Для того чтобы найти $c$, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{c} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Из полученного соотношения $\frac{1}{c} = \frac{a+b}{ab}$ выразим $c$, "перевернув" обе дроби:
$c = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab}{a+b}$