Номер 1033, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1033. Основания трапеции равны 6 см и 18 см, а боковые стороны — 7 см и 11 см. Найдите расстояние между серединами оснований трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию:

• длина меньшего основания $BC = 6$ см
• длина большего основания $AD = 18$ см
• длина боковой стороны $AB = 7$ см
• длина боковой стороны $CD = 11$ см

Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Для решения задачи воспользуемся методом построений. Мы найдем длину отрезка $MN$, рассмотрев его как гипотенузу прямоугольного треугольника.

1. Нахождение высоты трапеции.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. Получим параллелограмм $ABCE$. По свойствам параллелограмма:

• $AE = BC = 6$ см
• $CE = AB = 7$ см

Рассмотрим отрезок $ED$ на основании $AD$:$ED = AD - AE = 18 - 6 = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$ со сторонами:

• $CE = 7$ см
• $CD = 11$ см
• $ED = 12$ см

Высота этого треугольника, проведенная из вершины $C$ к стороне $ED$, является также высотой трапеции. Обозначим ее $h$. Найдем площадь треугольника $CDE$ по формуле Герона.

Полупериметр $p$ треугольника $CDE$:$p = \frac{CE + CD + ED}{2} = \frac{7 + 11 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Площадь $S$ треугольника $CDE$:$S = \sqrt{p(p-CE)(p-CD)(p-ED)} = \sqrt{15(15-7)(15-11)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{1440} = \sqrt{144 \cdot 10} = 12\sqrt{10}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:$S = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h$.

Отсюда найдем высоту $h$:$12\sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \implies 6h = 12\sqrt{10} \implies h = 2\sqrt{10}$ см.

2. Нахождение расстояния между проекциями середин оснований.

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$ на основание $AD$. Тогда $BB_1 = CC_1 = h = 2\sqrt{10}$ см. Опустим также перпендикуляр $MK$ из точки $M$ на $AD$. Тогда $MK = h = 2\sqrt{10}$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABB_1$ и $CDС_1$. По теореме Пифагора:

• $AB_1 = \sqrt{AB^2 - BB_1^2} = \sqrt{7^2 - (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{49 - 40} = \sqrt{9} = 3$ см.
• $C_1D = \sqrt{CD^2 - CC_1^2} = \sqrt{11^2 - (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{121 - 40} = \sqrt{81} = 9$ см.

Проверим: $AD = AB_1 + B_1C_1 + C_1D = 3 + 6 + 9 = 18$ см, что соответствует условию.

Точка $N$ — середина $AD$, поэтому ее расстояние от точки $A$ равно:$AN = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Проекция $K$ точки $M$ (середины $BC$) на основание $AD$ будет серединой отрезка $B_1C_1$. Расстояние от точки $A$ до точки $K$ равно:$AK = AB_1 + B_1K = AB_1 + \frac{B_1C_1}{2} = 3 + \frac{6}{2} = 3 + 3 = 6$ см.

Теперь найдем длину отрезка $NK$, который является одним из катетов в искомом прямоугольном треугольнике $MNK$:$NK = |AN - AK| = |9 - 6| = 3$ см.

3. Нахождение расстояния между серединами оснований.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNK$, где:

• катет $MK = h = 2\sqrt{10}$ см;
• катет $NK = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MN$:$MN = \sqrt{MK^2 + NK^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + 3^2} = \sqrt{40 + 9} = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.