Номер 1026, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1026. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$, а две другие – 12 см и 35 см. Установите, при каких значениях $a$ угол $A$ треугольника является:

а) острым;

б) прямым;

в) тупым.

Для решения задачи воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $BC = a$, $AB = c = 12$ см, $AC = b = 35$ см. Угол $A$ лежит напротив стороны $a$. Тип угла $A$ (острый, прямой или тупой) зависит от соотношения между квадратом стороны $a$ и суммой квадратов двух других сторон $b^2+c^2$.

• Если $a^2 < b^2 + c^2$, то угол $A$ — острый.
• Если $a^2 = b^2 + c^2$, то угол $A$ — прямой.
• Если $a^2 > b^2 + c^2$, то угол $A$ — тупой.

Сначала вычислим сумму квадратов двух известных сторон:$b^2 + c^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$.

Также необходимо учесть, что для существования треугольника должно выполняться неравенство треугольника: любая сторона должна быть меньше суммы двух других, но больше их разности. Для стороны $a$ это означает:$35 - 12 < a < 35 + 12$$23 < a < 47$Теперь рассмотрим каждый случай для угла $A$.

а) острым;

Угол $A$ является острым, если выполняется неравенство $a^2 < b^2 + c^2$. Подставив вычисленное значение, получаем:$a^2 < 1369$$a < \sqrt{1369}$$a < 37$Совмещая это условие с неравенством треугольника ($23 < a < 47$), находим общее решение: $23 < a < 37$.
Ответ: при $23 < a < 37$.

б) прямым;

Угол $A$ является прямым, если выполняется равенство $a^2 = b^2 + c^2$. Это соответствует случаю:$a^2 = 1369$$a = \sqrt{1369} = 37$Данное значение удовлетворяет неравенству треугольника ($23 < 37 < 47$), поэтому является допустимым.
Ответ: при $a = 37$.

в) тупым.

Угол $A$ является тупым, если выполняется неравенство $a^2 > b^2 + c^2$. Это означает, что:$a^2 > 1369$$a > 37$Совмещая это с неравенством треугольника ($23 < a < 47$), получаем итоговый диапазон значений: $37 < a < 47$.
Ответ: при $37 < a < 47$.