Номер 1020, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1020. Найдите больший угол треугольника, одна сторона которого вдвое больше радиуса описанной окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, синусы противолежащих углов и радиус описанной около него окружности.

Формула теоремы синусов выглядит так:$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $где $a, b, c$ — стороны треугольника, $A, B, C$ — противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим отношение для одной из сторон, например, для стороны $a$:$ \frac{a}{\sin A} = 2R $

По условию задачи, одна из сторон треугольника (пусть это будет сторона $a$) вдвое больше радиуса описанной окружности. Запишем это математически:$ a = 2R $

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу теоремы синусов:$ \frac{2R}{\sin A} = 2R $

Так как для существования треугольника радиус описанной окружности $R$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $2R$:$ \frac{1}{\sin A} = 1 $Отсюда следует, что:$ \sin A = 1 $

Угол $A$ является внутренним углом треугольника, поэтому его значение должно лежать в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, синус которого равен 1, это $90^\circ$.$ A = 90^\circ $

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Если один из углов равен $90^\circ$, то сумма двух других углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку каждый из этих двух углов должен быть больше $0^\circ$, то каждый из них будет меньше $90^\circ$ (они будут острыми). Следовательно, угол в $90^\circ$ является наибольшим в данном треугольнике.

Ответ: $90^\circ$.