Номер 1018, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1018. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см, а радиус вписанного круга — 10 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. По условию задачи, основание $AC = a = 30$ см, а радиус вписанной окружности $r = 10$ см.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — это середина отрезка $AC$, и $AH = HC = \frac{a}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на пересечении биссектрис. В нашем случае он лежит на высоте $BH$. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника равно радиусу. Таким образом, $OH = r = 10$ см.

Обозначим боковую сторону $AB = BC = b$ и высоту $BH = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $b^2 = 15^2 + h^2 \quad (1)$

Площадь треугольника $S$ можно вычислить двумя способами:
1. Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h = 15h$.
2. Через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$. Периметр треугольника $P = a + 2b = 30 + 2b$. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{30 + 2b}{2} = 15 + b$. Тогда $S = (15 + b) \cdot r = (15 + b) \cdot 10 = 150 + 10b$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти связь между $h$ и $b$: $15h = 150 + 10b$ Разделим обе части уравнения на 5: $3h = 30 + 2b$ Выразим $h$: $h = \frac{30 + 2b}{3} = 10 + \frac{2}{3}b \quad (2)$

Теперь подставим выражение для $h$ из уравнения (2) в уравнение (1): $b^2 = 15^2 + \left(10 + \frac{2}{3}b\right)^2$ $b^2 = 225 + 100 + 2 \cdot 10 \cdot \frac{2}{3}b + \left(\frac{2}{3}b\right)^2$ $b^2 = 325 + \frac{40}{3}b + \frac{4}{9}b^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $b^2 - \frac{4}{9}b^2 - \frac{40}{3}b - 325 = 0$ $\frac{5}{9}b^2 - \frac{40}{3}b - 325 = 0$ Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей: $5b^2 - 120b - 2925 = 0$ Разделим уравнение на 5: $b^2 - 24b - 585 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-585) = 576 + 2340 = 2916$ $\sqrt{D} = \sqrt{2916} = 54$ $b = \frac{-(-24) \pm 54}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm 54}{2}$ Поскольку длина стороны $b$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком «плюс»: $b = \frac{24 + 54}{2} = \frac{78}{2} = 39$ см.

Теперь, зная $b$, можем найти высоту $h$, используя уравнение (2): $h = 10 + \frac{2}{3} \cdot 39 = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36$ см.

Зная все стороны и высоту треугольника, мы можем найти его площадь и периметр.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 36 = 15 \cdot 36 = 540$ см$^2$.
Ответ: 540 см$^2$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + 2b = 30 + 2 \cdot 39 = 30 + 78 = 108$ см.
Ответ: 108 см.