Номер 1017, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1017. Две окружности имеют радиусы 3 см и 13 см, расстояние между их центрами равно 9 см (рис. 315). Среди хорд большей окружности, касающихся меньшей, найдите хорду:

а) наименьшей длины;

б) наибольшей длины.

Рис. 315

Пусть $R$ — радиус большей окружности, $r$ — радиус меньшей окружности, а $d$ — расстояние между их центрами. По условию, $R = 13$ см, $r = 3$ см, $d = 9$ см.
Пусть $O_1$ — центр меньшей окружности, а $O_2$ — центр большей окружности.
Длина любой хорды $L$ в окружности радиуса $R$ связана с расстоянием $D$ от центра окружности до этой хорды следующей формулой:
$L = 2\sqrt{R^2 - D^2}$.
Из этой формулы видно, что длина хорды $L$ максимальна, когда расстояние $D$ минимально, и наоборот, $L$ минимальна, когда $D$ максимально.
Нам нужно найти хорды большей окружности, которые касаются меньшей. Это означает, что расстояние от центра $O_1$ до прямой, содержащей хорду, равно $r=3$ см. Нам необходимо найти минимальное и максимальное расстояние $D$ от центра $O_2$ до таких прямых.

Для нахождения диапазона возможных значений $D$ введем систему координат. Поместим центр меньшей окружности $O_1$ в начало координат $(0, 0)$, а центр большей окружности $O_2$ на оси абсцисс в точке $(9, 0)$.
Уравнение прямой, касающейся окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $r=3$, можно записать в нормальной форме:
$x \cos\alpha + y \sin\alpha - 3 = 0$,
где $\alpha$ — угол, который образует перпендикуляр из начала координат к этой прямой с положительным направлением оси $Ox$.

Расстояние $D$ от центра большей окружности $O_2(9, 0)$ до этой прямой вычисляется по формуле расстояния от точки до прямой:
$D = \frac{|9 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha - 3|}{\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}} = |9\cos\alpha - 3|$.

Теперь найдем экстремальные значения $D$. Так как $\cos\alpha$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, выражение $9\cos\alpha - 3$ принимает значения в диапазоне от $9(-1) - 3 = -12$ до $9(1) - 3 = 6$.
Максимальное значение расстояния $D$ будет равно наибольшему по модулю значению из этого диапазона:
$D_{max} = |-12| = 12$ см.
Минимальное значение расстояния $D$ будет равно наименьшему по модулю значению. Поскольку диапазон $[-12, 6]$ содержит 0 (это значение достигается при $\cos\alpha = 1/3$), то:
$D_{min} = 0$ см.

а) наименьшей длины
Наименьшая длина хорды $L_{min}$ соответствует максимальному расстоянию от центра $D_{max} = 12$ см.
$L_{min} = 2\sqrt{R^2 - D_{max}^2} = 2\sqrt{13^2 - 12^2} = 2\sqrt{169 - 144} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

б) наибольшей длины
Наибольшая длина хорды $L_{max}$ соответствует минимальному расстоянию от центра $D_{min} = 0$ см.
$L_{max} = 2\sqrt{R^2 - D_{min}^2} = 2\sqrt{13^2 - 0^2} = 2\sqrt{169} = 2 \cdot 13 = 26$ см.
Эта хорда является диаметром большей окружности.
Ответ: 26 см.