Номер 1024, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1024. В сектор с центральным углом $90^\circ$ и радиусом $R$ вписан прямоугольник, стороны которого относятся как $1 : 6$ (рис. 317). Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что один конец каждой из меньших сторон находится на дуге, а другой — на граничном радиусе.

Рис. 317

$R$

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, где $a$ — меньшая сторона, а $b$ — большая. Согласно условию задачи, стороны относятся как $1:6$, следовательно, $b = 6a$.

Пусть центр сектора находится в начале координат $O(0,0)$, а его граничные радиусы лежат на положительных осях $Ox$ и $Oy$. Прямоугольник вписан симметрично относительно биссектрисы угла $y=x$. Пусть вершины прямоугольника, лежащие на радиусах, — это точки $Q$ на оси $Ox$ и $T$ на оси $Oy$. Тогда их координаты $Q(d, 0)$ и $T(0, d)$ для некоторого $d>0$. Вершины, лежащие на дуге окружности, обозначим $P$ и $S$. При этом $TS$ и $QP$ — меньшие стороны длиной $a$, а $TQ$ и $SP$ — большие стороны длиной $b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OTQ$, образованный радиусами и большей стороной прямоугольника. Его катеты равны $OQ = d$ и $OT = d$, а гипотенуза — $TQ = b = 6a$. По теореме Пифагора:

$OQ^2 + OT^2 = TQ^2$

$d^2 + d^2 = b^2$

$2d^2 = (6a)^2 = 36a^2$

Отсюда находим $d$:

$d^2 = 18a^2 \Rightarrow d = 3\sqrt{2}a$

Теперь проведем из центра $O$ перпендикуляр $OL$ к стороне прямоугольника $SP$. Так как фигура симметрична относительно биссектрисы угла $xOy$, точка $L$ будет серединой отрезка $SP$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OLS$. По теореме Пифагора $OS^2 = OL^2 + LS^2$. Найдем длины его сторон:

• $OS$ — это радиус сектора, поэтому $OS = R$.
• $LS$ — это половина длины стороны $SP$, то есть $LS = \frac{b}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.
• $OL$ — это расстояние от центра до стороны $SP$. Оно равно сумме расстояния от центра $O$ до стороны $TQ$ и длины меньшей стороны $a$. Расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle OTQ$ (обозначим его $h_{TQ}$) равно $d/\sqrt{2}$. Таким образом, $h_{TQ} = \frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = 3a$. Расстояние $OL = h_{TQ} + a = 3a + a = 4a$.

Подставим найденные значения в теорему Пифагора для треугольника $\triangle OLS$:

$R^2 = (4a)^2 + (3a)^2$

$R^2 = 16a^2 + 9a^2$

$R^2 = 25a^2$

Извлекая корень из обеих частей уравнения, получаем $R = 5a$.

Отсюда находим длину меньшей стороны:

$a = \frac{R}{5}$

И длину большей стороны:

$b = 6a = 6 \cdot \frac{R}{5} = \frac{6R}{5}$

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{R}{5}$ и $\frac{6R}{5}$.