Номер 1030, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1030. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны 20 см и 34 см соответственно, а медиана $BM = 21$ см. Найдите высоту $CK$.

Для того чтобы найти высоту $CK$, проведенную к стороне $AB$, мы можем использовать формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$. Нам известна длина стороны $AB = 20$ см. Следовательно, нашей основной задачей является нахождение площади треугольника $ABC$. Для этого мы сначала определим длину третьей стороны $AC$, используя данную нам длину медианы $BM$.

1. Нахождение длины стороны AC
Пусть стороны треугольника обозначаются как $a = BC = 34$ см, $c = AB = 20$ см, и $b = AC$. Медиана, проведенная к стороне $AC$, есть $BM = m_b = 21$ см. Воспользуемся формулой для длины медианы:$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$Подставим известные значения в формулу:$21^2 = \frac{2 \cdot 34^2 + 2 \cdot 20^2 - b^2}{4}$$441 = \frac{2 \cdot 1156 + 2 \cdot 400 - b^2}{4}$$441 = \frac{2312 + 800 - b^2}{4}$Умножим обе части на 4:$1764 = 3112 - b^2$Отсюда найдем $b^2$:$b^2 = 3112 - 1764 = 1348$Тогда длина стороны $AC$ равна:$b = \sqrt{1348} = \sqrt{4 \cdot 337} = 2\sqrt{337}$ см.

2. Нахождение площади треугольника ABC
Теперь, когда известны длины всех трех сторон треугольника ($a=34$ см, $c=20$ см, $b=2\sqrt{337}$ см), мы можем вычислить его площадь с помощью формулы Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Вычислим полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{34 + 2\sqrt{337} + 20}{2} = \frac{54 + 2\sqrt{337}}{2} = 27 + \sqrt{337}$ см. Теперь найдем разности:$p-a = (27 + \sqrt{337}) - 34 = \sqrt{337} - 7$$p-b = (27 + \sqrt{337}) - 2\sqrt{337} = 27 - \sqrt{337}$$p-c = (27 + \sqrt{337}) - 20 = \sqrt{337} + 7$Подставим эти значения в формулу Герона. Удобно сначала вычислить квадрат площади:$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = (27 + \sqrt{337})( \sqrt{337} - 7)(27 - \sqrt{337})( \sqrt{337} + 7)$Сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:$S^2 = [(27 + \sqrt{337})(27 - \sqrt{337})] \cdot [(\sqrt{337} + 7)(\sqrt{337} - 7)]$$S^2 = (27^2 - (\sqrt{337})^2) \cdot ((\sqrt{337})^2 - 7^2)$$S^2 = (729 - 337) \cdot (337 - 49)$$S^2 = 392 \cdot 288 = 112896$Теперь найдем площадь, извлекая квадратный корень:$S = \sqrt{112896} = 336$ см².

3. Нахождение высоты CK
Используем формулу площади, чтобы найти высоту $CK$, проведенную к стороне $AB$:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$Подставим известные значения площади и длины стороны $AB$:$336 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot CK$$336 = 10 \cdot CK$$CK = \frac{336}{10} = 33,6$ см.

Ответ: 33,6 см.