Номер 1027, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1027. Найдите неизвестные стороны треугольника ABC, учитывая, что:

а) AB = 5 см, AC = 8 см и $\angle A = 60^\circ$;

б) AB = 3 см, AC = 5 см и $\angle A = 120^\circ$;

в) AB = $4\sqrt{2}$ см, AC = 7 см и $\angle A = 45^\circ$;

г) AB = 8 см, BC = 13 см и $\angle A = 60^\circ$;

д) AB = 13 см, $\angle C = 120^\circ$ и AC + BC = 15 см (рис. 318);

е) AB = 13 см, BC = 7 см, $\angle A = 30^\circ$;

ж) AB = 7 см, BC = 5 см, $\angle A = 45^\circ$.

Рис. 318

а) Дано: $AB = 5$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 60°$.
Чтобы найти неизвестную сторону $BC$, воспользуемся теоремой косинусов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения:
$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$
Так как $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:
$BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$
$BC = \sqrt{49} = 7$ см.
Ответ: $BC = 7$ см.

б) Дано: $AB = 3$ см, $AC = 5$ см, $\angle A = 120°$.
Применяем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
Подставим значения:
$BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120°)$
Так как $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$BC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$
$BC = \sqrt{49} = 7$ см.
Ответ: $BC = 7$ см.

в) Дано: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $AC = 7$ см, $\angle A = 45°$.
Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
Подставим значения:
$BC^2 = (4\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45°)$
Так как $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$BC^2 = 32 + 49 - 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81 - \frac{56 \cdot 2}{2} = 81 - 56 = 25$
$BC = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: $BC = 5$ см.

г) Дано: $AB = 8$ см, $BC = 13$ см, $\angle A = 60°$.
Пусть неизвестная сторона $AC = x$. По теореме косинусов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$13^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(60°)$
$169 = 64 + x^2 - 16x \cdot \frac{1}{2}$
$169 = 64 + x^2 - 8x$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 8x + 64 - 169 = 0$
$x^2 - 8x - 105 = 0$
Решаем уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$.
$x_1 = \frac{8 + 22}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{8 - 22}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $AC = 15$ см.
Ответ: $AC = 15$ см.

д) Дано: $AB = 13$ см, $\angle C = 120°$, $AC + BC = 15$ см.
Пусть $AC = x$, тогда $BC = 15 - x$. Применим теорему косинусов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$13^2 = x^2 + (15 - x)^2 - 2 \cdot x \cdot (15 - x) \cdot \cos(120°)$
$169 = x^2 + 225 - 30x + x^2 - 2(15x - x^2)(-\frac{1}{2})$
$169 = 2x^2 - 30x + 225 + (15x - x^2)$
$169 = x^2 - 15x + 225$
$x^2 - 15x + 225 - 169 = 0$
$x^2 - 15x + 56 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = 8$.
Если $AC = 7$ см, то $BC = 15 - 7 = 8$ см.
Если $AC = 8$ см, то $BC = 15 - 8 = 7$ см.
Ответ: $AC = 7$ см, $BC = 8$ см (или наоборот, $AC = 8$ см, $BC = 7$ см).

е) Дано: $AB = 13$ см, $BC = 7$ см, $\angle A = 30°$.
Пусть неизвестная сторона $AC = x$. По теореме косинусов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$7^2 = 13^2 + x^2 - 2 \cdot 13 \cdot x \cdot \cos(30°)$
$49 = 169 + x^2 - 26x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$49 = 169 + x^2 - 13\sqrt{3}x$
$x^2 - 13\sqrt{3}x + 120 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 169 \cdot 3 - 480 = 507 - 480 = 27$.
$\sqrt{D} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$x_1 = \frac{13\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$
$x_2 = \frac{13\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$
Оба решения положительны, следовательно, существуют два таких треугольника.
Ответ: $AC = 8\sqrt{3}$ см или $AC = 5\sqrt{3}$ см.

ж) Дано: $AB = 7$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 45°$.
Пусть неизвестная сторона $AC = x$. По теореме косинусов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$5^2 = 7^2 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \cos(45°)$
$25 = 49 + x^2 - 14x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$25 = 49 + x^2 - 7\sqrt{2}x$
$x^2 - 7\sqrt{2}x + 24 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 49 \cdot 2 - 96 = 98 - 96 = 2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2}$.
$x_1 = \frac{7\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
Оба решения положительны.
Ответ: $AC = 4\sqrt{2}$ см или $AC = 3\sqrt{2}$ см.