Номер 1021, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1021. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$. Найдите основание треугольника, учитывая, что высота, проведенная к нему, на $m$ больше радиуса описанного круга.

Пусть дан равнобедренный треугольник, основание которого равно $c$, а угол при основании равен $\alpha$. Обозначим высоту, проведенную к основанию, как $h$, а радиус описанной окружности — как $R$.

Согласно условию задачи, высота на $m$ больше радиуса описанной окружности, что можно записать в виде уравнения: $h = R + m$.

Для решения задачи необходимо выразить $h$ и $R$ через искомое основание $c$ и известный угол $\alpha$.

1. Выражение высоты $h$.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание на два равных отрезка длиной $c/2$. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, образованных этой высотой. В этом треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота $h$, а прилежащий катет — это половина основания $c/2$. Из определения тангенса угла следует:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{c/2}$

Отсюда выражаем высоту:

$h = \frac{c}{2} \tan(\alpha)$

2. Выражение радиуса описанной окружности $R$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как два угла при основании равны $\alpha$, угол при вершине, противолежащий основанию, будет равен $\beta = 180^\circ - 2\alpha$.

По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{c}{\sin(\beta)} = 2R$

Подставим выражение для угла $\beta$:

$R = \frac{c}{2\sin(180^\circ - 2\alpha)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получим:

$R = \frac{c}{2\sin(2\alpha)}$

3. Решение уравнения.

Теперь подставим полученные выражения для $h$ и $R$ в исходное условие $h = R + m$:

$\frac{c}{2} \tan(\alpha) = \frac{c}{2\sin(2\alpha)} + m$

Перенесем все члены с $c$ в левую часть, чтобы выразить $m$:

$m = \frac{c}{2} \tan(\alpha) - \frac{c}{2\sin(2\alpha)}$

$m = \frac{c}{2} \left( \tan(\alpha) - \frac{1}{\sin(2\alpha)} \right)$

Для упрощения выражения в скобках используем тригонометрические тождества: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$m = \frac{c}{2} \left( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{1}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \right)$

Приведем к общему знаменателю $2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$m = \frac{c}{2} \left( \frac{2\sin^2(\alpha) - 1}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \right)$

Вспомним формулы двойного угла: $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$, из которой следует, что $2\sin^2(\alpha) - 1 = -\cos(2\alpha)$.

Подставим эти тождества в наше уравнение:

$m = \frac{c}{2} \left( \frac{-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} \right) = -\frac{c}{2} \cot(2\alpha)$

Наконец, выразим искомое основание $c$:

$c = \frac{-2m}{\cot(2\alpha)} = -2m \tan(2\alpha)$

Длина основания $c$ и величина $m$ по определению положительны. Следовательно, произведение $-2m \tan(2\alpha)$ должно быть положительным. Это возможно только если $\tan(2\alpha) < 0$. Учитывая, что $\alpha$ — угол треугольника ($0 < \alpha < 90^\circ$), то $0 < 2\alpha < 180^\circ$. Тангенс отрицателен во второй координатной четверти, то есть при $90^\circ < 2\alpha < 180^\circ$, что эквивалентно $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Таким образом, условие задачи может быть выполнено только для остроугольных равнобедренных треугольников. В этом случае $\tan(2\alpha)$ действительно отрицателен, и формула дает положительное значение для $c$.

Ответ: $-2m \tan(2\alpha)$.