Номер 1016, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1016. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона — 27 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого совпадают с основаниями высот исходного.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором основание $AC = 18$ см, а боковые стороны $AB = BC = 27$ см. Пусть $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ — высоты, проведенные к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Точки $H_A$, $H_B$ и $H_C$ являются вершинами нового треугольника. Нам нужно найти периметр треугольника $\triangle H_A H_B H_C$.

1. Найдем положения оснований высот.

Высота $BH_B$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Следовательно, точка $H_B$ — середина стороны $AC$.
$AH_B = H_B C = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Для нахождения положений точек $H_A$ и $H_C$ найдем косинус угла при основании, например, угла $\angle C$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$27^2 = 18^2 + 27^2 - 2 \cdot 18 \cdot 27 \cdot \cos(\angle C)$
$0 = 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 27 \cdot \cos(\angle C)$
$2 \cdot 18 \cdot 27 \cdot \cos(\angle C) = 18^2$
$\cos(\angle C) = \frac{18^2}{2 \cdot 18 \cdot 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle A = \angle C$, и $\cos(\angle A) = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A H_A C$ (с прямым углом при $H_A$, так как $AH_A$ - высота к $BC$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$. Тогда катет $CH_A$ можно найти как:
$CH_A = AC \cdot \cos(\angle C) = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ см.
Аналогично, из прямоугольного треугольника $\triangle C H_C A$ находим катет $AH_C$:
$AH_C = AC \cdot \cos(\angle A) = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ см.

2. Найдем длины сторон треугольника $\triangle H_A H_B H_C$.

Сторона $H_A H_C$:
Рассмотрим $\triangle H_A B H_C$. Мы знаем, что $BH_A = BC - CH_A = 27 - 6 = 21$ см и $BH_C = AB - AH_C = 27 - 6 = 21$ см.
Треугольник $\triangle H_A B H_C$ подобен треугольнику $\triangle ABC$, так как у них общий угол $\angle B$ и прилежащие к нему стороны пропорциональны:
$\frac{BH_A}{BC} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$
$\frac{BH_C}{AB} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$
Коэффициент подобия $k = \frac{7}{9}$.
Следовательно, сторона $H_A H_C$ относится к стороне $AC$ с тем же коэффициентом:
$H_A H_C = AC \cdot k = 18 \cdot \frac{7}{9} = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Сторона $H_A H_B$:
Рассмотрим треугольник $\triangle H_A C H_B$. Мы знаем его стороны $CH_A = 6$ см, $CH_B = 9$ см и угол между ними $\angle C$, для которого $\cos(\angle C) = \frac{1}{3}$. По теореме косинусов:
$(H_A H_B)^2 = (CH_A)^2 + (CH_B)^2 - 2 \cdot CH_A \cdot CH_B \cdot \cos(\angle C)$
$(H_A H_B)^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{3}$
$(H_A H_B)^2 = 36 + 81 - \frac{108}{3}$
$(H_A H_B)^2 = 117 - 36 = 81$
$H_A H_B = \sqrt{81} = 9$ см.

Сторона $H_C H_B$:
В силу симметрии равнобедренного треугольника, $\triangle H_A H_B H_C$ также является равнобедренным, и $H_C H_B = H_A H_B = 9$ см.

3. Найдем периметр треугольника $\triangle H_A H_B H_C$.

Периметр $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = H_A H_C + H_A H_B + H_C H_B$
$P = 14 + 9 + 9 = 32$ см.

Ответ: 32 см.