Номер 1009, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1009. Медиана треугольника имеет длину $\sqrt{3}$ и образует углы $30^{\circ}$ и $90^{\circ}$ с прилежащими сторонами (рис. 313). Найдите площадь этого треугольника.

Рис. 313

Обозначим треугольник как $ABC$, а медиану, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$, как $BM$.

Согласно условию задачи, длина медианы $BM = \sqrt{3}$. Медиана образует с прилежащими сторонами $AB$ и $BC$ углы $\angle ABM = 30^\circ$ и $\angle CBM = 90^\circ$.

Угол при вершине $B$ равен сумме этих углов: $\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$.

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, так как у них общая высота, проведенная из вершины $B$, а основания $AM$ и $MC$ равны ($AM=MC$). Таким образом, площадь треугольника $ABM$ равна площади треугольника $CBM$ ($S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$).

Выразим площади этих двух треугольников, используя формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Площадь треугольника $ABM$ равна: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(\angle ABM) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB$.

Площадь треугольника $CBM$ равна: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin(\angle CBM) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}BC$.

Приравнивая площади, получаем: $\frac{\sqrt{3}}{4}AB = \frac{\sqrt{3}}{2}BC$.

Разделив обе части на $\sqrt{3}$ и упростив, находим соотношение между сторонами: $\frac{1}{4}AB = \frac{1}{2}BC$, откуда следует, что $AB = 2BC$.

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, чтобы найти длины сторон. В $\triangle ABM$ имеем:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM) = AB^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = AB^2 + 3 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AB^2 + 3 - 3AB$.

В $\triangle CBM$ имеем:

$CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) = BC^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot BC \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(90^\circ) = BC^2 + 3 - 0 = BC^2 + 3$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AC$, то $AM = CM$, а значит, $AM^2 = CM^2$.

$AB^2 + 3 - 3AB = BC^2 + 3$, что упрощается до $AB^2 - 3AB = BC^2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $AB = 2BC$ и $AB^2 - 3AB = BC^2$. Подставим первое уравнение во второе: $(2BC)^2 - 3(2BC) = BC^2$.

Раскрываем скобки и решаем уравнение: $4BC^2 - 6BC = BC^2$, что приводит к $3BC^2 - 6BC = 0$, или $3BC(BC - 2) = 0$.

Так как $BC$ — это длина стороны треугольника, $BC \neq 0$. Следовательно, $BC - 2 = 0$, откуда $BC = 2$.

Теперь найдем длину стороны $AB$: $AB = 2BC = 2 \cdot 2 = 4$.

Мы нашли длины двух сторон $AB=4$ и $BC=2$ и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Теперь можем вычислить площадь всего треугольника $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin(120^\circ) = 4 \cdot \sin(120^\circ)$.

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то площадь равна:

$S_{\triangle ABC} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.