Номер 1007, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1007. Найдите стороны равнобедренного треугольника, учитывая, что его высоты равны $a$ и $b$.

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $x$, а основание равно $y$. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. Таким образом, у треугольника есть две различные по длине высоты. Обозначим их $h_x$ (высота к боковой стороне) и $h_y$ (высота к основанию). По условию, высоты равны $a$ и $b$. Это приводит к двум возможным случаям.

В этом случае $h_y = a$ и $h_x = b$. Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2}ya$ и $S = \frac{1}{2}xb$. Приравнивая эти два выражения, получаем связь между сторонами: $ya = xb$, откуда $y = \frac{xb}{a}$.

Высота $h_y = a$, проведенная к основанию, является также медианой и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катетами такого треугольника являются высота $a$ и половина основания $\frac{y}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $x$. По теореме Пифагора: $x^2 = a^2 + (\frac{y}{2})^2$.

Подставим в это уравнение выражение для $y$ через $x$:

$x^2 = a^2 + (\frac{xb}{2a})^2 = a^2 + \frac{x^2b^2}{4a^2}$

Решим это уравнение относительно $x^2$:

$x^2 - \frac{x^2b^2}{4a^2} = a^2 \implies x^2(1 - \frac{b^2}{4a^2}) = a^2 \implies x^2(\frac{4a^2 - b^2}{4a^2}) = a^2 \implies x^2 = \frac{4a^4}{4a^2 - b^2}$

Отсюда находим боковую сторону $x$:

$x = \frac{2a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$

Для того чтобы корень был действительным и не равным нулю, необходимо выполнение условия $4a^2 - b^2 > 0$, то есть $2a > b$.

Теперь найдем основание $y$:

$y = \frac{xb}{a} = \frac{2a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}} \cdot \frac{b}{a} = \frac{2ab}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$

Ответ: Если $2a > b$, то боковые стороны равны $\frac{2a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$, а основание равно $\frac{2ab}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$.

Этот случай симметричен первому. Для получения решения достаточно поменять местами $a$ и $b$ в формулах из первого случая. В этом случае $h_y = b$ и $h_x = a$.

Боковая сторона $x$ будет равна:

$x = \frac{2b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$

Основание $y$ будет равно:

$y = \frac{2ab}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$

Условие существования такого треугольника: $4b^2 - a^2 > 0$, то есть $2b > a$.

Ответ: Если $2b > a$, то боковые стороны равны $\frac{2b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$, а основание равно $\frac{2ab}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.