Номер 1000, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1000. Докажите, что если в треугольной пирамиде противоположные ребра попарно равны, то прямые, проходящие через середины противоположных ребер, попарно перпендикулярны.

Пусть дана треугольная пирамида $DABC$. По условию, её противоположные рёбра попарно равны: $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Пусть $M, N, P, Q, R, S$ — середины рёбер $AB, CD, AC, BD, AD, BC$ соответственно.

Мы должны доказать, что прямые $MN$, $PQ$ и $RS$, соединяющие середины противоположных рёбер, попарно перпендикулярны, то есть $MN \perp PQ$, $MN \perp RS$ и $PQ \perp RS$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введём радиус-векторы вершин пирамиды: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Тогда радиус-векторы середин рёбер будут равны:

$ \vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} $, $ \vec{n} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} $

$ \vec{p} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} $, $ \vec{q} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} $

$ \vec{r} = \frac{\vec{a}+\vec{d}}{2} $, $ \vec{s} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} $

Найдём векторы, направленные вдоль прямых $MN$, $PQ$ и $RS$:

$ \vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b}) $

$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{c}) $

$ \vec{RS} = \vec{s} - \vec{r} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{d}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}) $

Условие равенства длин противоположных рёбер в векторной форме выглядит так:

$ |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{d}-\vec{c}|^2 $ (для рёбер $AB$ и $CD$)

$ |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |\vec{d}-\vec{b}|^2 $ (для рёбер $AC$ и $BD$)

$ |\vec{d}-\vec{a}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 $ (для рёбер $AD$ и $BC$)

Для доказательства перпендикулярности прямых нужно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.

1. Докажем, что $MN \perp RS$.

Найдём скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{RS}$:

$ \vec{MN} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}) $

Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$ \vec{MN} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}((\vec{c}-\vec{a}) + (\vec{d}-\vec{b})) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) - (\vec{d}-\vec{b})) $

$ \vec{MN} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}(|\vec{c}-\vec{a}|^2 - |\vec{d}-\vec{b}|^2) $

По условию, $|\vec{c}-\vec{a}|^2 = |AC|^2$ и $|\vec{d}-\vec{b}|^2 = |BD|^2$. Так как $AC=BD$, то $|\vec{c}-\vec{a}|^2 = |\vec{d}-\vec{b}|^2$.

Следовательно, $ \vec{MN} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}(0) = 0 $. Это означает, что $MN \perp RS$.

2. Докажем, что $PQ \perp RS$.

Аналогично найдём скалярное произведение векторов $\vec{PQ}$ и $\vec{RS}$:

$ \vec{PQ} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}) $

Перегруппируем слагаемые:

$ \vec{PQ} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}((\vec{b}-\vec{a}) + (\vec{d}-\vec{c})) \cdot ((\vec{b}-\vec{a}) - (\vec{d}-\vec{c})) $

$ \vec{PQ} \cdot \vec{RS} = \frac{1}{4}(|\vec{b}-\vec{a}|^2 - |\vec{d}-\vec{c}|^2) $

По условию, $|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |AB|^2$ и $|\vec{d}-\vec{c}|^2 = |CD|^2$. Так как $AB=CD$, то $|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{d}-\vec{c}|^2$.

Следовательно, $ \vec{PQ} \cdot \vec{RS} = 0 $. Это означает, что $PQ \perp RS$.

3. Докажем, что $MN \perp PQ$.

И, наконец, найдём скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PQ}$:

$ \vec{MN} \cdot \vec{PQ} = \frac{1}{4}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{c}) $

Перегруппируем слагаемые:

$ \vec{MN} \cdot \vec{PQ} = \frac{1}{4}((\vec{d}-\vec{a}) - (\vec{b}-\vec{c})) \cdot ((\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{b}-\vec{c})) $

$ \vec{MN} \cdot \vec{PQ} = \frac{1}{4}(|\vec{d}-\vec{a}|^2 - |\vec{c}-\vec{b}|^2) $

По условию, $|\vec{d}-\vec{a}|^2 = |AD|^2$ и $|\vec{c}-\vec{b}|^2 = |BC|^2$. Так как $AD=BC$, то $|\vec{d}-\vec{a}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2$.

Следовательно, $ \vec{MN} \cdot \vec{PQ} = 0 $. Это означает, что $MN \perp PQ$.

Таким образом, мы доказали, что все три прямые, проходящие через середины противоположных рёбер, попарно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.