Номер 1006, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1006. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, разделяет ее на части длинами 7 см и 2 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на два отрезка. Длина боковой стороны равна сумме длин этих отрезков: $BC = 7 \text{ см} + 2 \text{ см} = 9 \text{ см}$. Следовательно, $AB = BC = 9 \text{ см}$.

Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Это означает, что $AH \perp BC$, и образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

Условие задачи не уточняет, как именно высота делит боковую сторону, то есть какой из отрезков на боковой стороне ($BH$ или $CH$) равен 7 см, а какой — 2 см. Это приводит к двум возможным решениям, так как отрезки могут быть отсчитаны от вершины $B$ или от вершины $C$.

Предположим, что высота делит боковую сторону на отрезки $BH = 7$ см (отрезок, примыкающий к вершине $B$) и $HC = 2$ см (отрезок, примыкающий к основанию).

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ по теореме Пифагора найдем квадрат высоты $AH$:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$.

Далее, в прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора найдем основание $AC$:
$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 32 + 2^2 = 32 + 4 = 36$.

Следовательно, длина основания $AC = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Предположим, что высота делит боковую сторону на отрезки $BH = 2$ см и $HC = 7$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ по теореме Пифагора найдем квадрат высоты $AH$:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 9^2 - 2^2 = 81 - 4 = 77$.

Далее, в прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора найдем основание $AC$:
$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 77 + 7^2 = 77 + 49 = 126$.

Следовательно, длина основания $AC = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.