Номер 1011, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1011. Основания прямоугольной трапеции равны 27 см и 53 см, а большая боковая сторона — 34 см. Найдите отрезок серединного перпендикуляра к этой стороне, ограниченный прямыми, содержащими боковые стороны трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. По условию, основания равны $BC = 27$ см и $AD = 53$ см. Большая боковая сторона $CD = 34$ см.

1. Нахождение высоты трапеции

Высота трапеции равна длине боковой стороны $AB$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $ABCH$ — прямоугольник, то $AH = BC = 27$ см. Тогда отрезок $HD$ равен:

$HD = AD - AH = 53 - 27 = 26$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$CH^2 = CD^2 - HD^2 = 34^2 - 26^2 = (34 - 26)(34 + 26) = 8 \cdot 60 = 480$

$CH = \sqrt{480} = \sqrt{16 \cdot 30} = 4\sqrt{30}$ см.

Таким образом, высота трапеции $h = AB = CH = 4\sqrt{30}$ см.

2. Введение системы координат

Для удобства вычислений введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $B$ в начало координат $B(0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль основания $BC$, а ось $Oy$ — вдоль боковой стороны $AB$. Тогда координаты вершин трапеции будут следующими:

• $B(0, 0)$
• $C(27, 0)$
• $A(0, 4\sqrt{30})$
• $D(53, 4\sqrt{30})$

3. Нахождение координат ключевых точек

Искомый отрезок является частью серединного перпендикуляра к большей боковой стороне $CD$ и ограничен прямыми, содержащими боковые стороны $AB$ и $CD$.

Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к стороне $CD$. Пусть $P$ — точка пересечения $l$ с прямой $AB$, а $Q$ — точка пересечения $l$ с прямой $CD$. Нам нужно найти длину отрезка $PQ$.

Точка $Q$ является точкой пересечения прямой $CD$ и перпендикуляра к ней, проходящего через ее середину. Следовательно, точка $Q$ — это середина отрезка $CD$. Найдем ее координаты, обозначив ее как $M$:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{27 + 53}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$y_M = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{0 + 4\sqrt{30}}{2} = 2\sqrt{30}$

Итак, $M(40, 2\sqrt{30})$.

Точка $P$ лежит на прямой $AB$, которая в нашей системе координат совпадает с осью $Oy$. Значит, ее абсцисса равна нулю: $P(0, y_P)$. Точка $P$ также лежит на серединном перпендикуляре к $CD$, поэтому она равноудалена от точек $C$ и $D$:

$PC = PD$ или $PC^2 = PD^2$

Выразим квадраты расстояний через координаты:

$PC^2 = (x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2 = (27 - 0)^2 + (0 - y_P)^2 = 27^2 + y_P^2 = 729 + y_P^2$

$PD^2 = (x_D - x_P)^2 + (y_D - y_P)^2 = (53 - 0)^2 + (4\sqrt{30} - y_P)^2 = 53^2 + (4\sqrt{30})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{30} \cdot y_P + y_P^2 = 2809 + 480 - 8\sqrt{30}y_P + y_P^2 = 3289 - 8\sqrt{30}y_P + y_P^2$

Приравняем выражения:

$729 + y_P^2 = 3289 - 8\sqrt{30}y_P + y_P^2$

$8\sqrt{30}y_P = 3289 - 729$

$8\sqrt{30}y_P = 2560$

$y_P = \frac{2560}{8\sqrt{30}} = \frac{320}{\sqrt{30}}$

Таким образом, координаты точки $P(0, \frac{320}{\sqrt{30}})$.

4. Вычисление длины искомого отрезка

Теперь найдем расстояние между точками $P(0, \frac{320}{\sqrt{30}})$ и $M(40, 2\sqrt{30})$ по формуле расстояния между двумя точками:

$PM = \sqrt{(x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2}$

$PM = \sqrt{(40 - 0)^2 + (2\sqrt{30} - \frac{320}{\sqrt{30}})^2}$

$PM = \sqrt{40^2 + (\frac{2\sqrt{30} \cdot \sqrt{30} - 320}{\sqrt{30}})^2}$

$PM = \sqrt{1600 + (\frac{2 \cdot 30 - 320}{\sqrt{30}})^2}$

$PM = \sqrt{1600 + (\frac{60 - 320}{\sqrt{30}})^2}$

$PM = \sqrt{1600 + (\frac{-260}{\sqrt{30}})^2} = \sqrt{1600 + \frac{260^2}{30}} = \sqrt{1600 + \frac{67600}{30}} = \sqrt{1600 + \frac{6760}{3}}$

$PM = \sqrt{\frac{1600 \cdot 3 + 6760}{3}} = \sqrt{\frac{4800 + 6760}{3}} = \sqrt{\frac{11560}{3}}$

Так как $1156 = 34^2$, то $11560 = 1156 \cdot 10 = 34^2 \cdot 10$.

$PM = \sqrt{\frac{34^2 \cdot 10}{3}} = 34\sqrt{\frac{10}{3}} = 34\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{34\sqrt{30}}{3}$

Длина искомого отрезка равна $\frac{34\sqrt{30}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{34\sqrt{30}}{3}$ см.